Calcule os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com T(x, y)=(x, x+y).

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (x,\;x+y).
O conteúdo envolve representação matricial na base canônica, cálculo do polinômio característico e resolução de (A-\lambda I)v=0.

Passo 2

Vamos representar T em relação à base canônica. Para um vetor (x,y),
T(x,y) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[6pt] 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Logo, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico
\chi(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 \\[3pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)^2.]

Passo 4

As raízes de \chi(\lambda)=0 são
1-\lambda = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 1
com multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Agora achamos os autovetores resolvendo (A - I)v = 0. Temos
A - I = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt]1 & 0\end{pmatrix},
então
\begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt]1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}
implica 1\cdot x + 0\cdot y = 0, ou seja x=0. Logo os vetores da forma
v = \begin{pmatrix}0\y\end{pmatrix}, \quad y\neq 0,
são autovetores associados a \lambda=1. Podemos escolher como gerador da reta própria o vetor \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Como a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é 1 e a multiplicidade algébrica é 2, a matriz não é diagonalizável; há apenas uma direção de autovetores.

Resposta

O único autovalor é
\lambda = 1 \quad(\text{multiplicidade algébrica }2),é
e os autovetores são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},
isto é, \{\,t\,(0,1)\mid t\neq0\}.

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