Calcule os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares.
com
.
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores da transformação linear
definida por
O conteúdo envolve representação matricial na base canônica, cálculo do polinômio característico e resolução de
.
Passo 2
Vamos representar
em relação à base canônica. Para um vetor
,
Logo, a matriz de
é
Passo 3
Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico
Passo 4
As raízes de
são
com multiplicidade algébrica 2.
Passo 5
Agora achamos os autovetores resolvendo
. Temos
então
implica
, ou seja
. Logo os vetores da forma
são autovetores associados a
. Podemos escolher como gerador da reta própria o vetor
.]
Passo 6
Como a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é 1 e a multiplicidade algébrica é 2, a matriz não é diagonalizável; há apenas uma direção de autovetores.
Resposta
O único autovalor é
e os autovetores são todos os múltiplos de
isto é,
.