Calcule os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} com T(x, y, z)=(x+z, x+z, y+z).

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e os autovetores da transformação linear T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z) = (x+z,\;x+z,\;y+z).
O conteúdo principal é encontrar a representação matricial de T na base canônica, calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I) e em seguida resolver (A-\lambda I)\mathbf{v}=0 para cada autovalor \lambda.

Passo 2

Aplicamos T aos vetores da base canônica \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0) e \mathbf{e}_3=(0,0,1): T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(0,0,1), T(0,0,1)=(1,1,1).
Logo, a matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para achar os autovalores, montamos A - \lambda I e calculamos o determinante:
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 1\\\\ 1 & -\lambda & 1\\\\ 0 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)\bigl(-\lambda(1-\lambda)-1\bigr) +1\cdot\bigl(1\cdot1 -(-\lambda)\cdot0\bigr).
Expandindo, obtemos
\det(A-\lambda I) = -\lambda^3 +2\lambda^2 = -\lambda^2(\lambda-2).

Passo 4

Das raízes de \det(A-\lambda I)=0 concluímos que os autovalores são
\lambda=0\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda=2\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 5

Para \lambda=2 resolvemos (A-2I)\mathbf{v}=0:
\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
As equações dão z=x e y=x. Um autovetor associado é
\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Para \lambda=0 resolvemos A\mathbf{v}=0:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso leva a x+z=0 e y+z=0, logo x=-z, y=-z. Um autovetor é
\mathbf{v}_0 = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

Os autovalores são \lambda=2 e \lambda=0 (este com multiplicidade algébrica 2).
Um autovetor para \lambda=2 é (1,1,1) e um para \lambda=0 é (-1,-1,1).

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