Calcule os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} com T(x, y, z)=(x+z, x+z, y+z).
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e os autovetores da transformação linear T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z) = (x+z,\;x+z,\;y+z).
O conteúdo principal é encontrar a representação matricial de T na base canônica, calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I) e em seguida resolver (A-\lambda I)\mathbf{v}=0 para cada autovalor \lambda.
Passo 2
Aplicamos T aos vetores da base canônica \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0) e \mathbf{e}_3=(0,0,1): T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(0,0,1), T(0,0,1)=(1,1,1).
Logo, a matriz de T na base canônica é