Considere a parábola \mathcal{P}: \frac{y^{2}}{4}=4 x.
Sejam A e B as extremidades da corda da parábola \mathcal{P} que é perpendicular ao eixo e contém o foco F, e seja V o vértice da parábola.
A medida da corda A B é

Passo 1

O enunciado dá a parábola \mathcal{P}:\frac{y^2}{4}=4x, pede a corda AB que é perpendicular ao eixo da parábola (logo vertical) e passa pelo foco F. O vértice é V. Vamos:
  1. Identificar a, foco e vértice.
  2. Determinar a equação da reta perpendicular ao eixo que passa por F.
  3. Calcular as interseções dessa reta com \mathcal{P} para achar A e B.
  4. Calcular a distância AB.

Passo 2

Reconhecemos que o modelo padrão é y^2=4ax. Aqui \frac{y^2}{4}=4x implica
y^2=16x,
portanto 4a=16 e a=4. O vértice é V=(0,0) e o foco é
F=(a,0)=(4,0).

Passo 3

A corda é perpendicular ao eixo (eixo x) e contém F, logo é a reta vertical x=4.

Passo 4

Para encontrar A e B resolvemos a interseção de y^2=16x com x=4:
y^2=16\cdot 4=64 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm8.
Logo
A=(4,8), \quad B=(4,-8).

Passo 5

A distância entre A e B é
AB=\sqrt{(4-4)^2+(8-(-8))^2}=\sqrt{0+16^2}=16.

Resposta

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