Sobre uma Parábola \mathcal{P} com foco no ponto F, sabe-se que:
  • o vértice V tem coordenadas (1,-3);
  • o eixo de \mathcal{P} é paralelo ao eixo O x;
  • o ponto Q=(-1,-7) pertence à \mathcal{P}.
    Suponha que A é um ponto da reta diretriz de \mathcal{P}. Complete:
    (a) F=(
    \square
    \square
    )
    (b) A=(
    \square ,-2),
    (c) Se
a x^{2}+b x y+c y^{2}+d x+e y
+f=0
, \operatorname{com} f=1, é uma equação para \mathcal{P}, então:
a=
\square
, \quad b=
, c=
\square
, d=
\square
\text { , e } e=

Passo 1

O enunciado dá uma parábola \mathcal{P} com vértice V=(1,-3), eixo paralelo ao O x, foco F desconhecido e reta diretriz desconhecida, mas diz que o ponto Q=(-1,-7) pertence à parábola. Para parábolas com eixo horizontal, usamos a forma padrão
(y - k)^2 = 4p\,(x - h),
onde (h,k)=(1,-3) e p é a distância orientada do vértice ao foco.

Passo 2

Na forma padrão temos
(y + 3)^2 = 4p\,(x - 1).
Como Q=(-1,-7) está na parábola, substituímos x=-1 e y=-7:
(-7+3)^2 = 4p\,(-1-1).

Passo 3

Calculamos
16 = 4p \cdot (-2) \quad\Longrightarrow\quad 16 = -8p \quad\Longrightarrow\quad p = -2.

Passo 4

Com p=-2, o foco é
F = (h+p,\,k) = (1 - 2,\,-3) = (-1,-3),
e a diretriz é a reta vertical
x = h - p = 1 - (-2) = 3.
Um ponto A sobre essa reta com segunda coordenada -2 é
A = (3,-2).

Passo 5

A equação na forma padrão fica
(y+3)^2 = 4(-2)\,(x-1) = -8(x-1).
Expandindo:
y^2 + 6y + 9 = -8x + 8 \quad\Longrightarrow\quad 8x + y^2 + 6y + 1 = 0.

Passo 6

Comparando com
a x^{2} + b x y + c y^{2} + d x + e y + 1 = 0,
vemos que
a = 0,\quad b = 0,\quad c = 1,\quad d = 8,\quad e = 6.

Resposta

(a) F = (-1,-3)
(b) A = (3,-2)
(c) a = 0,\;b = 0,\;c = 1,\;d = 8,\;e = 6

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