Calcule o Núcleo e a Imagem das seguintes Transformações Lineares. Em seguida, calcule a dimensão desses conjuntos. T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} com T(x, y)=(x, y, x+y).
e pede (1) o Núcleo \ker(T), (2) a Imagem \mathrm{Im}(T) e (3) as dimensões desses subespaços. Para isso vamos usar as definições:
– \ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^2\mid T(v)=0\}.
– \mathrm{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^2\}= espaço gerado pelas colunas da matriz de T.
Passo 2
Para achar \ker(T)\) resolvemos a equação vetorial
\[T(x,y) = (x,\,y,\,x+y) = (0,0,0).
Isto dá o sistema
\begin{cases} x = 0,\\\ y = 0,\\\ x + y = 0. \end{cases}
As duas primeiras equações já impõem x=0\] e \(y=0, que satisfaz automaticamente a terceira. Logo
\ker(T) = \{(0,0)\}.
Passo 3
Para determinar \mathrm{Im}(T), basta ver as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^2: