Calcule o Núcleo e a Imagem das seguintes Transformações Lineares. Em seguida, calcule a dimensão desses conjuntos.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} com T(x, y)=(x, y, x+y).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3},\quad T(x,y) = (x,\,y,\,x+y),
e pede (1) o Núcleo \ker(T), (2) a Imagem \mathrm{Im}(T) e (3) as dimensões desses subespaços. Para isso vamos usar as definições:
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^2\mid T(v)=0\}.
\mathrm{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^2\}= espaço gerado pelas colunas da matriz de T.

Passo 2

Para achar \ker(T)\) resolvemos a equação vetorial \[T(x,y) = (x,\,y,\,x+y) = (0,0,0).
Isto dá o sistema
\begin{cases} x = 0,\\\ y = 0,\\\ x + y = 0. \end{cases}
As duas primeiras equações já impõem x=0\] e \(y=0, que satisfaz automaticamente a terceira. Logo
\ker(T) = \{(0,0)\}.

Passo 3

Para determinar \mathrm{Im}(T), basta ver as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^2:
T(1,0) = (1,\,0,\,1),\qquad T(0,1) = (0,\,1,\,1).
Então
\mathrm{Im}(T) = \mathrm{span}\bigl\{(1,0,1),\,(0,1,1)\bigr\}.
Como a(1,0,1)+b(0,1,1)=(0,0,0) leva a a=b=0, esses vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^3.

Passo 4

As dimensões seguem diretamente:
\dim\bigl(\ker(T)\bigr) = 0 \quad\text{e}\quad \dim\bigl(\mathrm{Im}(T)\bigr) = 2.
Note que \dim(\ker(T))+\dim(\mathrm{Im}(T))=0+2=2=\dim(\mathbb{R}^2), conforme o teorema do posto–nulidade.

Resposta

\ker(T)=\{(0,0)\},\quad \dim(\ker(T))=0 \mathrm{Im}(T)=\mathrm{span}\{(1,0,1),\,(0,1,1)\},\quad \dim(\mathrm{Im}(T))=2

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