Calcule o Núcleo e a Imagem das seguintes Transformações Lineares. Em seguida, calcule a dimensão desses conjuntos.
V: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com V(x, y, z)=(x+z, y-z).

Passo 1

O enunciado pede o núcleo e a imagem de V\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
V(x,y,z) = (x+z,\;y-z).
O conteúdo é transformar isso numa matriz, resolver o sistema para o núcleo e encontrar o espaço gerado pelas colunas para a imagem. Também vamos calcular as dimensões desses subespaços.

Passo 2

Para achar o núcleo, lembramos que
\ker(V) = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid V(x,y,z) = (0,0)\}.
Isso equivale ao sistema
\begin{cases} x + z = 0,\\\ y - z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x = -z. Da segunda vem y = z. Se chamarmos z = t, então
(x,y,z) = (-t,\,t,\,t) = t\,(-1,1,1).

Passo 3

Concluímos que
\ker(V) = \{\,t(-1,1,1)\mid t\in\mathbb{R}\} = \Span\{(-1,1,1)\},
então
\dim\bigl(\ker(V)\bigr) = 1.

Passo 4

Para a imagem, usamos as colunas da matriz de V na base canônica. Em \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2, a matriz é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix},
cujas colunas são (1,0), (0,1) e (1,-1). Observamos que (1,-1) = (1,0) - (0,1),
logo
\Im(V) = \Span\{(1,0),\,(0,1)\} = \mathbb{R}^2
e
\dim\bigl(\Im(V)\bigr) = 2.

Resposta

O núcleo é
\ker(V) = \Span\{(-1,1,1)\},\quad \dim(\ker(V)) = 1.
A imagem é
\Im(V) = \mathbb{R}^2,\quad \dim(\Im(V)) = 2.

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