Encontre os autovalores e autovetores associados dos operadores lineares e matrizes em seguintes: , (derivada)
Passo 1
O espaço vetorial é , o espaço dos polinômios de grau , e o operador linear é a derivada
Queremos encontrar todos os autovalores e, para cada um, os autovetores não-nulos tais que
Passo 2
Escrevemos a equação de autovalor:
Isso dá um polinômio de grau à esquerda e de grau à direita, logo ao compararmos coeficientes teremos um sistema para .
Passo 3
Igualando coeficientes de , e termo constante, obtemos
]
Passo 4
Suponha lambdaneq 0.
Da primeira equação 0=lambda a segue a=0.
Então da segunda 2a=lambda b vem b=0.
E da terceira b=lambda c segue c=0.
Isso dá apenas a solução trivial a=b=c=0, que não é um autovetor.
Portanto não há autovetores para lambdaneq0.
Passo 5
Logo só resta lambda=0.
Para lambda=0 as equações ficam
2a=0Rightarrow a=0, b=0Rightarrow b=0,
e c fica livre.
Assim todo polinômio da forma p(x)=c (constante) satisfaz
Tl(p(x)r)=0=;0cdot p(x)
Os autovetores são os polinômios constantes não-nulos e o autovalor único é lambda=0.
Resposta
O único autovalor é lambda=0, com multiplicidade algébrica 3 e multiplicidade geométrica 1.
O autespaço é
ker(T)=,cinKmid cneq0;=;span1,
ou seja, todos os polinômios constantes são autovetores (não-nulos) associados a lambda=0.