Encontre os autovalores e autovetores associados dos operadores lineares T: V longrightarrow V e matrizes em M(n, n) seguintes:
V=P2, T(a x^2+b x+c)=2 a x+b, (derivada)

Passo 1

O espaço vetorial é V=P2, o espaço dos polinômios de grau <=2, e o operador linear é a derivada
Tl(a x^2 + b x + cr) = 2a x + b
Queremos encontrar todos os autovalores lambda e, para cada um, os autovetores não-nulos p(x)=a x^2+ b x + c tais que
Tl(p(x)r)=lambda,p(x)

Passo 2

Escrevemos a equação de autovalor:
Tl(a x^2 + b x + cr) = 2a x + b = lambda,(a x^2 + b x + c)
Isso dá um polinômio de grau <=1 à esquerda e de grau <=2 à direita, logo ao compararmos coeficientes teremos um sistema para a,b,c,lambda.

Passo 3

Igualando coeficientes de x^2, x e termo constante, obtemos
0 = lambda a, [6pt] 2a = lambda b, [6pt] b = lambda c ]

Passo 4

Suponha lambdaneq 0.
Da primeira equação 0=lambda a segue a=0.
Então da segunda 2a=lambda b vem b=0.
E da terceira b=lambda c segue c=0.
Isso dá apenas a solução trivial a=b=c=0, que não é um autovetor.
Portanto não há autovetores para lambdaneq0.

Passo 5

Logo só resta lambda=0.
Para lambda=0 as equações ficam
2a=0Rightarrow a=0, b=0Rightarrow b=0,
e c fica livre.
Assim todo polinômio da forma p(x)=c (constante) satisfaz
Tl(p(x)r)=0=;0cdot p(x)
Os autovetores são os polinômios constantes não-nulos e o autovalor único é lambda=0.

Resposta

O único autovalor é lambda=0, com multiplicidade algébrica 3 e multiplicidade geométrica 1.
O autespaço é
ker(T)=,cinKmid cneq0;=;span1,
ou seja, todos os polinômios constantes são autovetores (não-nulos) associados a lambda=0.

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