Calcule os autovalores e seus respectivos autovetores (caso existam) dos seguintes operadores lineares
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(13 x+5 y+10 z,-16 x-5 y-16 z,-6 x-3 y-3 z); (DICA: p(\lambda)=(\lambda+1)(\lambda-3)^{2} é o polinômio caracteristico;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e os autovetores do operador linear
T(x,y,z) = (13x + 5y + 10z,\;-16x - 5y - 16z,\;-6x - 3y - 3z)
Sabemos que a matriz de T em relação à base canônica é
A = \begin{pmatrix} 13 & 5 & 10\\\\ -16 & -5 & -16\\\\ -6 & -3 & -3 \end{pmatrix}
e que o polinômio característico é
p(\lambda) = (\lambda + 1)(\lambda - 3)^2.
Portanto, os autovalores são \lambda_1 = -1 (multiplicidade algébrica 1) e \lambda_2 = 3 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 2

Para \lambda_1 = -1\) calculamos o núcleo de \(A - (-1)I = A + I\): \[A + I = \begin{pmatrix} 14 & 5 & 10\\\\ -16 & -4 & -16\\\\ -6 & -3 & -2 \end{pmatrix}.
Devemos resolver
(A + I)\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
isto é,
\begin{cases} 14x + 5y + 10z = 0,\\\\ -16x - 4y - 16z = 0,\\\\ -6x - 3y - 2z = 0. \end{cases}
Note que as duas últimas equações são múltiplos da primeira. Da primeira vem
14x + 5y + 10z = 0 \;\Longrightarrow\; y = -2x - \tfrac{2}{3}z.
Substituindo em 14\]x \(+5y +10z =0 ou diretamente na terceira, obtemos
x = -\tfrac{5}{3}z,\quad y = \tfrac{8}{3}z.
Tomando z = 3, um autovetor correspondente é
v_{-1} = (-5,\,8,\,3).

Passo 3

Para \lambda_2 = 3 calculamos o núcleo de A - 3I:
A - 3I = \begin{pmatrix} 10 & 5 & 10\\\\ -16 & -8 & -16\\\\ -6 & -3 & -6 \end{pmatrix}.
Resolvendo
(A - 3I)\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0
vemos que todas as linhas dão a mesma equação
2x + y + 2z = 0 \;\Longrightarrow\; y = -2x - 2z.
Escolhemos parâmetros x = s, z = t. Assim um autovetor geral é
(s,\,-2s -2t,\,t) = s\,(1,-2,0) + t\,(0,-2,1).
Dessa forma, uma base do espaço próprio de \lambda=3 é dada pelos vetores
v_{3,1} = (1,-2,0), \quad v_{3,2} = (0,-2,1).

Resposta

O operador T tem dois autovalores e respectivos espaços próprios:
\lambda = -1
Autovetor (único, até escalar):
(-5,\,8,\,3).
\lambda = 3
Espaço próprio de dimensão 2, gerado por
(1,-2,0) \quad\text{e}\quad (0,-2,1).

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