Calcule os autovalores e seus respectivos autovetores (caso existam) dos seguintes operadores lineares
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, T(x, y, z, t)=(2 x, 2 x+2 y, x+2 y+2 z, 3 x-y+3 z+3 t); (DICA: p(\lambda)=(\lambda-3)(\lambda-2)^{3} é o polinômio característico);

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T(x,y,z,t) = (2x,\;2x+2y,\;x+2y+2z,\;3x - y + 3z + 3t)
em \mathbb{R}^4 e pede os autovalores e autovetores. Já temos o polinômio característico
p(\lambda) = (\lambda - 3)(\lambda - 2)^3,
ou seja, as possíveis raízes são \lambda=3 (multiplicidade algébrica 1) e \lambda=2 (multiplicidade algébrica 3).

Passo 2

Encontramos os autovalores como as raízes de p(\lambda):
\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2.

Passo 3

Para \lambda=3 resolvemos
(T - 3I)(x,y,z,t) = 0.
Escrevendo as equações:
\bigl(2x-3x,\;2x+2y-3y,\;x+2y+2z-3z,\;3x-y+3z+3t-3t\bigr) = (0,0,0,0),
isto é
-x = 0,\quad 2x - y = 0,\quad x + 2y - z = 0,\quad 3x - y + 3z = 0.
Da primeira equação vem x=0. Substituindo nas demais dá y=0 e z=0, enquanto a última é 0=0. Logo t é livre, e os autovetores são
(x,y,z,t) = (0,0,0,t) = t\,(0,0,0,1).

Passo 4

Para \lambda=2 resolvemos
(T - 2I)(x,y,z,t) = 0,
isto é
\bigl(2x-2x,\;2x+2y-2y,\;x+2y+2z-2z,\;3x-y+3z+3t-2t\bigr) = (0,0,0,0),
ou seja
0 = 0,\quad 2x = 0,\quad x + 2y = 0,\quad 3x - y + 3z + t = 0.
Da segunda vem x=0; da terceira, y=0; da quarta, t = -3z. Assim os autovetores são
(x,y,z,t) = (0,0,z,-3z) = z\,(0,0,1,-3).

Resposta

Os autovalores e seus autovetores (geradores de cada autovalor) são:
\displaystyle \lambda=3 com autovetores t\,(0,0,0,1), t\neq0;
\displaystyle \lambda=2 com autovetores z\,(0,0,1,-3), z\neq0.

Exercícios relacionados