Calcule os autovalores e seus respectivos autovetores (caso existam) dos seguintes operadores lineares
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(4 x+5 y, 2 x+y);

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 definido por
T(x,y) = (4x+5y,\;2x+y).
Para isso, vamos usar a representação matricial de T na base canônica e resolver o polinômio característico para obter os autovalores \lambda, e em seguida achar, para cada \lambda, os vetores não nulos v tais que
(T - \lambda I)v = 0.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix}4 & 5 \\[6pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}4-\lambda & 5 \\[3pt] 2 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (4-\lambda)(1-\lambda) - 5\cdot 2.
Expandindo,
(4-\lambda)(1-\lambda) -10 = 4 -4\lambda -\lambda +\lambda^2 -10 = \lambda^2 -5\lambda -6.
Logo, igualando a zero,
\lambda^2 -5\lambda -6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{5 \pm \sqrt{25 +24}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2},
resultando em
\lambda_1 = 6, \quad \lambda_2 = -1.]

Passo 3

Para \lambda_1 = 6, resolvemos
(A - 6I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}4-6 & 5 \\[3pt] 2 & 1-6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]y\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-2 & 5 \\[3pt]2 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]y\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha vem -2x + 5y = 0, ou seja 2x = 5y, então
x = \tfrac{5}{2}\,y.
Escolhendo y = 2, um autovetor correspondente é
v_1 = \begin{pmatrix}5\\[3pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para \lambda_2 = -1, resolvemos
(A + I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}4+1 & 5 \\[3pt]2 & 1+1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]y\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}5 & 5 \\[3pt]2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]y\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha vem 5x + 5y = 0, ou seja x = -y. Escolhendo y = 1, um autovetor é
v_2 = \begin{pmatrix}-1\\[3pt]1\end{pmatrix}.]

Resposta

\lambda_1 = 6, autovetor v_1 = (5,2).
\lambda_2 = -1, autovetor v_2 = (-1,1).

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