Calcule os autovalores e seus respectivos autovetores (caso existam) dos seguintes operadores lineares
T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}), T\left(\left[\begin{array}{ll}x & y \\\ z & t\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}x-y & y-x \\\ z-t & t-z\end{array}\right] (DICA: a representação matricial de T na base canonica do M_{2}(\mathbb{R}) é \left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right] cujo polinômio característico é p(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-2)^{2} que fornece dois autovalores reais: \lambda=0 e \lambda=2. Agora é achar as matrizes que serão autovetores associados a estes autovalores. Por exemplo a matriz \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] é um autovetor associado ao autovalor \lambda=0, enquanto que a matriz \left[\begin{array}{ll}1 & -1 \\\\ 1 & -1\end{array}\right] é um autovetor associado ao autovalor \lambda=2 );

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear
T\colon M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R}),\qquad T\bigl(\begin{bmatrix}x & y\\\ z & t\end{bmatrix}\bigr) =\begin{bmatrix}x-y & y-x\\\ z-t & t-z\end{bmatrix},
e informa que o polinômio característico é
p(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-2)^{2},
logo os autovalores são \lambda=0 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=2 (multiplicidade algébrica 2). Agora precisamos achar os autovetores (matrizes) associados a cada valor próprio.

Passo 2

Para \lambda=0\) resolvemos \[T\bigl(\begin{bmatrix}x & y\\\ z & t\end{bmatrix}\bigr)=0,
isto é
\begin{cases} x - y = 0,\\\ y - x = 0,\\\ z - t = 0,\\\ t - z = 0. \end{cases}
Dessas equações obtemos x=y\] e \(z=t. Logo qualquer autovetor associado a \lambda=0 tem a forma
\begin{bmatrix}x & x\\\ z & z\end{bmatrix} = x\begin{bmatrix}1 & 1\\\\ 0 & 0\end{bmatrix} + z\begin{bmatrix}0 & 0\\\\ 1 & 1\end{bmatrix}.

Passo 3

Para \lambda=2\) resolvemos \[T\bigl(\begin{bmatrix}x & y\\\ z & t\end{bmatrix}\bigr) =2\begin{bmatrix}x & y\\\ z & t\end{bmatrix},
ou seja
\begin{cases} x - y = 2x,\\\ y - x = 2y,\\\ z - t = 2z,\\\ t - z = 2t. \end{cases}
Da primeira equação vem x - y =2x\implies -y = x\implies y=-x\]. Da terceira vem \(z - t=2z\implies -t=z\implies t=-z. Assim qualquer autovetor associado a \lambda=2 tem a forma
\begin{bmatrix}x & -x\\\ z & -z\end{bmatrix} = x\begin{bmatrix}1 & -1\\\\ 0 & 0\end{bmatrix} + z\begin{bmatrix}0 & 0\\\\ 1 & -1\end{bmatrix}.

Resposta

Os autovalores e autovetores de T são:
(a) \lambda=0. O subespaço próprio é
\bigl\{\begin{bmatrix}x & x\\\ z & z\end{bmatrix}:x,z\in\mathbb{R}\bigr\}
com base, por exemplo,
\begin{bmatrix}1 & 1\\\\ 0 & 0\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}0 & 0\\\\ 1 & 1\end{bmatrix}.
(b) \lambda=2. O subespaço próprio é
\bigl\{\begin{bmatrix}x & -x\\\ z & -z\end{bmatrix}:x,z\in\mathbb{R}\bigr\}
com base, por exemplo,
\begin{bmatrix}1 & -1\\\\ 0 & 0\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}0 & 0\\\\ 1 & -1\end{bmatrix}.

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