Calcule os autovalores e seus respectivos autovetores (caso existam) dos seguintes operadores lineares T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}), T\left(\left[\begin{array}{ll}x & y \\\ z & t\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}x-y & y-x \\\ z-t & t-z\end{array}\right] (DICA: a representação matricial de T na base canonica do M_{2}(\mathbb{R}) é \left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right] cujo polinômio característico é p(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-2)^{2} que fornece dois autovalores reais: \lambda=0 e \lambda=2. Agora é achar as matrizes que serão autovetores associados a estes autovalores. Por exemplo a matriz \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] é um autovetor associado ao autovalor \lambda=0, enquanto que a matriz \left[\begin{array}{ll}1 & -1 \\\\ 1 & -1\end{array}\right] é um autovetor associado ao autovalor \lambda=2 );
logo os autovalores são \lambda=0 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=2 (multiplicidade algébrica 2). Agora precisamos achar os autovetores (matrizes) associados a cada valor próprio.
Passo 2
Para \lambda=0\) resolvemos
\[T\bigl(\begin{bmatrix}x & y\\\ z & t\end{bmatrix}\bigr)=0,
isto é
\begin{cases} x - y = 0,\\\ y - x = 0,\\\ z - t = 0,\\\ t - z = 0. \end{cases}
Dessas equações obtemos x=y\] e \(z=t. Logo qualquer autovetor associado a \lambda=0 tem a forma
Para \lambda=2\) resolvemos
\[T\bigl(\begin{bmatrix}x & y\\\ z & t\end{bmatrix}\bigr) =2\begin{bmatrix}x & y\\\ z & t\end{bmatrix},
ou seja
\begin{cases} x - y = 2x,\\\ y - x = 2y,\\\ z - t = 2z,\\\ t - z = 2t. \end{cases}
Da primeira equação vem x - y =2x\implies -y = x\implies y=-x\]. Da terceira vem \(z - t=2z\implies -t=z\implies t=-z. Assim qualquer autovetor associado a \lambda=2 tem a forma