Calcule os autovalores e seus respectivos autovetores (caso existam) dos seguintes operadores lineares
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(3 x-y+z, 5 y-x-z, x-y+3 z);

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad T(x,y,z)=(3x - y + z,\;5y - x - z,\;x - y + 3z).
Para isso, vamos (1) escrever a matriz de T na base canônica; (2) calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I); (3) achar as raízes \lambda (os autovalores); (4) resolver (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1\\\\ -1 & 5 & -1\\\\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico é
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 3-\lambda & -1 & 1\\\\ -1 & 5-\lambda & -1\\\\ 1 & -1 & 3-\lambda \end{pmatrix}.
Calculando, chega-se a
\det(A-\lambda I)=-\lambda^{3}+11\lambda^{2}-36\lambda+36,
ou seja
\lambda^{3}-11\lambda^{2}+36\lambda-36=0.

Passo 4

Buscando raízes inteiras, testamos \lambda=2 e obtemos
2^{3}-11\cdot2^{2}+36\cdot2-36=0,
logo \lambda=2 é raiz. Fazendo a divisão sintética, o quociente é \lambda^{2}-9\lambda+18, cujas raízes são
\lambda=\frac{9\pm\sqrt{81-72}}{2} =\frac{9\pm3}{2},
isto é \lambda=6 e \lambda=3. Portanto os autovalores são
\lambda_{1}=2,\quad \lambda_{2}=3,\quad \lambda_{3}=6.

Passo 5

Para \lambda=2, resolvemos (A-2I)v=0, isto é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ -1 & 3 & -1\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
As equações reduzem-se a
x - y + z=0,\quad -x+3y-z=0,
que têm solução y=0, x=-z. Assim
v_{1}=(-1,0,1)
é um autovetor associado a \lambda=2.

Passo 6

Para \lambda=3, (A-3I)v=0 leva a
\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\\\ -1 & 2 & -1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; x=y=z.
Um autovetor conveniente é
v_{2}=(1,1,1).

Passo 7

Para \lambda=6, (A-6I)v=0
\begin{pmatrix} -3 & -1 & 1\\\\ -1 & -1 & -1\\\\ 1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; y=-2x,\;z=x.
Um autovetor é
v_{3}=(1,-2,1).

Resposta

\lambda_{1}=2, autovetor v_{1}=(-1,0,1)
\lambda_{2}=3, autovetor v_{2}=(1,1,1)
\lambda_{3}=6, autovetor v_{3}=(1,-2,1)

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