Mostre que a função f(x)=e^{a x} é um autovetor associado ao autovalor \lambda=a no espaço vetorial das funções deriváveis, do operador linear D: C \rightarrow C definido por D(y)=y^{\prime} (operador derivada). (Dica: Basta derivar a função).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial C das funções real–reais deriváveis e o operador linear
D\colon C \to C,\quad D(y)=y'.
Queremos mostrar que a função
f(x)=e^{a x}
é um autovetor de D e determinar o autovalor \lambda tal que
D(f)=\lambda\,f.

Passo 2

Calculemos a derivada de f(x)=e^{a x}. Usando a regra da cadeia, obtemos
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(e^{a x}\bigr) =a\,e^{a x}.

Passo 3

Reescrevendo o resultado, temos
D(f)(x)=f'(x)=a\,e^{a x}=a\,f(x).
Isso mostra que D(f)=a\,f, ou seja, f é autovetor de D com autovalor \lambda=a.

Resposta

A função f(x)=e^{a x} é autovetor do operador derivada D associado ao autovalor \lambda=a.

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