Calcule os autovalores e seus respectivos autovetores (caso existam) dos seguintes operadores lineares
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(x+4 y, 2 x+3 y);

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujo efeito em coordenadas é
T(x,y) = (x+4y,\;2x+3y).
Podemos representar T pela matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 4 \\[6pt] 2 & 3\end{pmatrix}
em relação à base canônica. Para achar autovalores e autovetores, vamos calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 e depois resolver (A-\lambda I)v=0.]

Passo 2

O polinômio característico é
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 4 \\[4pt] 2 & 3-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(3-\lambda) - 8.
Expandindo,
(1-\lambda)(3-\lambda) - 8 = \bigl(3 -4\lambda +\lambda^2\bigr) -8 = \lambda^2 -4\lambda -5.]

Passo 3

Resolvendo
\lambda^2 -4\lambda -5 = 0
pela fórmula de Bhaskara, temos
\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 +20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2},
portanto
\lambda_1 = 5 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = -1.

Passo 4

Para \lambda_1 = 5, resolvemos
(A - 5I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}1-5 & 4 \\[4pt] 2 & 3-5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 & 4 \\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \mathbf{0}.
A primeira linha dá -4x+4y=0, ou seja y=x. Logo os autovetores associados são múltiplos de
\bigl(1,1\bigr).]

Passo 5

Para \lambda_2 = -1, resolvemos
(A + I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}1+1 & 4 \\[4pt] 2 & 3+1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \mathbf{0}.
A equação 2x+4y=0 leva a x=-2y. Assim os autovetores são múltiplos de
\bigl(-2,1\bigr).]

Resposta

Os autovalores e autovetores de T são:
\lambda_1 = 5 com autovetor associado \bigl(1,1\bigr) (até escala),
e
\lambda_2 = -1 com autovetor associado \bigl(-2,1\bigr) (até escala).

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