Questão 4. Dada a elipse

\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y-2)^{2}}{4}=1
determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade. Construa o gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse
\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y-2)^{2}}{4}=1
e pede para determinarmos o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e fazermos um esboço do gráfico. Isso envolve reconhecer a forma canônica da elipse, identificar seus parâmetros a, b e c, e depois traçar os pontos principais no plano.

Passo 2

Para colocar a elipse em forma canônica lembramos que uma elipse centrada em (h,k) com semi-eixos a (maior) e b (menor) é
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1.
Comparando com o enunciado vemos que
h=1,\quad k=2,\quad a^{2}=9,\quad b^{2}=4.
Logo
a=3,\quad b=2.
Como a^{2}>b^{2}, o eixo maior é horizontal.

Passo 3

Os vértices ao longo do eixo maior ficam em
(h\pm a,\;k) = (1\pm 3,\;2),
ou seja (4,2) e (-2,2).
Os vértices do eixo menor (co-vértices) ficam em
(h,\;k\pm b) = (1,\;2\pm 2),
ou seja (1,4) e (1,0).

Passo 4

Para encontrar os focos usamos
c^{2}=a^{2}-b^{2}=9-4=5,
assim
c=\sqrt{5}.
Os focos estão em
(h\pm c,\;k) = \bigl(1\pm \sqrt{5},\,2\bigr).
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}.

Passo 5

Esboço do gráfico:
– Trace os eixos x e y.
– Marque o centro em (1,2).
– Marque os vértices principais em (4,2) e (-2,2).
– Marque os co-vértices em (1,4) e (1,0).
– Marque os focos em \bigl(1+\sqrt{5},2\bigr) e \bigl(1-\sqrt{5},2\bigr).
– Desenhe uma curva suave passando pelos quatro vértices, simétrica em relação ao centro, e destacando a posição dos focos dentro da elipse.

Resposta

Centro: (1,2)
Vértices: (4,2), (-2,2); co-vértices: (1,4), (1,0)
Focos: \bigl(1+\sqrt{5},2\bigr), \bigl(1-\sqrt{5},2\bigr)
Excentricidade: \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}

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