Questāo 6. Detcrmine uma equação da hipérbole de vértices A_{1}(1,-2) e A_{2}(5,-2), sabendo que F(6,-2) é un de seus focos.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujos vértices são A_{1}(1,-2) e A_{2}(5,-2) e um dos focos é F(6,-2).
Conteúdo: geometria de cônicas—hipérbole em posição canônica. Vamos usar as fórmulas que relacionam vértices, centro, distância focal c, semieixo real a e semieixo imaginário b.

Passo 2

Primeiro encontramos o centro C da hipérbole como o ponto médio de A_{1} e A_{2}:
C\bigl(h,k\bigr) =\bigl(\tfrac{1+5}{2},\,\tfrac{-2+(-2)}{2}\bigr) =(3,-2).

Passo 3

O semieixo real a é a distância de C a um vértice. Por exemplo, de C(3,-2) a A_{1}(1,-2):
a = |3-1| = 2.

Passo 4

O parâmetro focal c é a distância de C ao foco F(6,-2):
c = |6-3| = 3.

Passo 5

Na hipérbole canônica horizontal, vale
c^{2} = a^{2} + b^{2}.
Logo
b^{2} = c^{2} - a^{2} = 3^{2} - 2^{2} = 9 - 4 = 5.

Passo 6

A equação padrão de uma hipérbole com eixo transverso horizontal, centro (h,k), semieixo real a e imaginário b é
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} \;-\;\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} \;=\;1.
Substituindo h=3, k=-2, a^{2}=4 e b^{2}=5, obtemos
\frac{(x-3)^{2}}{4} \;-\;\frac{(y+2)^{2}}{5} \;=\;1.

Resposta

\frac{(x-3)^{2}}{4} - \frac{(y+2)^{2}}{5} = 1.

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