Exercício 2-6: Transforme as formas quadráticas nas suas direções principais:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma forma quadrática representada por uma matriz e alguns termos lineares. Nosso objetivo é transformar essa forma quadrática nas suas direções principais, ou seja, reescrevê-la de uma maneira mais simples, onde as variáveis não se misturam mais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre autovalores e autovetores de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte quadrática da equação. Ela está representada pela matriz:
A = -11 & 42 42 & 24
Para transformar a forma quadrática, precisamos diagonalizar essa matriz, ou seja, encontrar uma matriz diagonal que seja semelhante a A. Isso é feito encontrando os autovalores e autovetores de A.
Passo 3
Vamos começar encontrando os autovalores de A. Os autovalores lambda são soluções da equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade. Calculando o determinante:
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos montar a matriz de mudança de base P, cujas colunas são os autovetores:
P = 2 & 3 3 & -2
E sua inversa P^-1. Porém, para simplificar, vamos usar que a transformação para as direções principais envolve substituir as variáveis originais por uma combinação linear delas baseada nos autovetores.
Passo 8
Reescrevemos as coordenadas (x1, x2) em termos das novas coordenadas (y1, y2) nas direções principais:
x1 = 2y1 + 3y2 x2 = 3y1 - 2y2
Substituímos essas expressões na forma quadrática original para obter a expressão nas direções principais.
Passo 9
Após substituir e simplificar, a forma quadrática nas direções principais ficará diagonal, ou seja, sem termos cruzados y1y2. A equação final será:
52y1^2 - 39y2^2 + (termos lineares e constantes) = 0
Resposta
A forma quadrática transformada nas suas direções principais é: