Exercício 2-6: Transforme as formas quadráticas nas suas direções principais:
[ll x1 & x2 ] cdot[cc 3 & 4 4 & -3 ] cdot[l x1 x2 ]=10

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma forma quadrática representada pela matriz:
[ll x1 & x2 ] cdot[cc 3 & 4 4 & -3 ] cdot[l x1 x2 ]=10
O objetivo é transformar essa forma quadrática para as suas direções principais, ou seja, encontrar uma nova base onde a equação fica mais simples, sem os termos cruzados. Para isso, vamos precisar usar autovalores e autovetores da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde A é a matriz dada e I é a matriz identidade. Então, subtraímos lambda nas diagonais de A:
[cc 3 - lambda & 4 4 & -3 - lambda ]
Agora, calculamos o determinante dessa matriz.

Passo 3

Calculando o determinante:
(3 - lambda)(-3 - lambda) - (4 cdot 4) = 0
Expandindo:
-9 -3lambda +3lambda + lambda^2 -16 = 0 lambda^2 -25 = 0
Resolvendo para lambda:
lambda^2 = 25 lambda = pm5
Então, os autovalores são 5 e -5.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para lambda = 5:
[cc 3 - 5 & 4 4 & -3 -5 ] cdot [c x1 x2 ] = [c 0 0 ]
Simplificando:
[cc -2 & 4 4 & -8 ] cdot [c x1 x2 ] = [c 0 0 ]
Isso nos leva a x1 = 2x2. Então, um autovetor para lambda = 5 é [c2 1].
Para lambda = -5:
[cc 3 + 5 & 4 4 & -3 +5 ] cdot [c x1 x2 ] = [c 0 0 ]
Simplificando:
[cc 8 & 4 4 & 2 ] cdot [c x1 x2 ] = [c 0 0 ]
Isso nos leva a x1 = -0.5x2. Então, um autovetor para lambda = -5 é [c-1 2].

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, vamos montar a matriz de transformação P formada pelos autovetores:
P = [cc 2 & -1 1 & 2 ]
Essa matriz P nos permite mudar de base para as direções principais.

Resposta

Transformando para as direções principais, a forma quadrática fica:
5y1^2 -5y2^2 =10
Onde y1 e y2 são as novas coordenadas nas direções principais.

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