Determine os números reais a e b tais o operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dado por
T(x, y)=(a x+b y,-x)
seja ortogonal.

Passo 1

O enunciado pede para achar a,b\in\mathbb{R} tais que o operador linear
T(x,y) = (a x + b y,\,-x)
seja ortogonal em \mathbb{R}^2. Isso significa que a matriz de T no padrão canônico deve satisfazer
M^T M = I_{2}.

Passo 2

A matriz de T é
M = \begin{pmatrix} a & b \\\\ -1 & 0 \end{pmatrix}.
A condição M^T M = I_2 equivale a exigir que as colunas de M sejam ortonormais, ou seja,
a^2 + (-1)^2 = 1,\quad b^2 + 0^2 = 1,\quad a\,b + (-1)\cdot 0 = 0.

Passo 3

Da primeira equação a^2 + 1 = 1 segue
a^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 0.

Passo 4

Da segunda equação b^2 = 1 segue
b = \pm 1.
E a terceira condição a\,b=0 fica satisfeita automaticamente com a=0.

Resposta

a = 0, \quad b = \pm 1.

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