Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y, se:
(b) f(x, y)=(x+y)^2(x^2-y^2) e R=[0,1] times[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRf(x,y),dx,dy,
onde f(x,y)=(x+y)^2(x^2-y^2) e R=[0,1]times[0,1].
O conteúdo é integração de funções polinomiais em duas variáveis e vamos usar a técnica de expandir o polinômio e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Expandimos
f(x,y)=(x+y)^2(x^2-y^2)
como
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2,
então
f(x,y)=(x^2+2xy+y^2)(x^2-y^2) =x^4+2x^3y-2xy^3-y^4

Passo 3

Integramos os termos “puros” em x ou em y:
integral duplaRx^4,dx,dy =gl(integral0^1x^4,dxgr)gl(integral0^1dygr) =15cdot1 =15,
integral duplaR(-y^4),dx,dy =-gl(integral0^1dxgr)gl(integral0^1y^4,dygr) =-1cdot15 =-15

Passo 4

Agora os termos mistos:
integral duplaR2x^3y,dx,dy =2gl(integral0^1x^3,dxgr)gl(integral0^1y,dygr) =2cdot14cdot12 =14,
integral duplaR(-2xy^3),dx,dy =-2gl(integral0^1x,dxgr)gl(integral0^1y^3,dygr) =-2cdot12cdot14 =-14

Passo 5

Somando todas as contribuições:
15+14-14-15=0

Resposta

0

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