Use integração dupla para calcular o volume do sólido.
O sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=9 e os planos z=0 e z=3-x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado lateralmente pelo cilindro
x^2+y^2=9
e verticalmente pelos planos z=0 e z=3-x.
O conteúdo é cálculo de volume via integrais duplas. Vamos precisar usar a fórmula
V=integral duplaDl(ztop-zbotr),dA
e coordenadas polares para o domínio D.

Passo 2

Em cada ponto (x,y) dentro do disco D=(x,y)mid x^2+y^2<=9, a altura do sólido é
ztop-zbot=(3-x)-0=3-x
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V=integral duplaD(3-x),dA

Passo 3

Antes de integrar, conferimos se 3-x>=0 em todo o disco x^2+y^2<=9. Como -3<= x<=3, tem-se 3-x>=0. Então a função é não negativa no domínio, e podemos seguir sem restrições.

Passo 4

Passamos a coordenadas polares, com
x=rcostheta, y=rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
e o disco fica 0<= r<=3,;0<=theta<=2pi. Assim
V = integral0^2pi!integral0^3l(3 - rcosthetar),r,dr,dtheta

Passo 5

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^3(3r - r^2costheta),dr = integral0^33r,dr ;-;costhetaintegral0^3r^2,dr = 3cdot92 ;-;costhetacdot273 = tfrac272 - 9costheta

Passo 6

Agora integramos em theta:
V = integral0^2pil(tfrac272-9costhetar),dtheta = tfrac272cdot2pi ;-;9integral0^2picostheta,dtheta =27pi ;-;9cdot0 =27pi

Resposta

O volume do sólido é 27pi.

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