Verifique quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais:
p(x)=a x^2+b x+c in P2 / a=2 b-c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = ,p(x)=ax^2+bx+cin P2 mid a = 2b - c
é um subespaço vetorial de P2. O conteúdo envolvido é a definição de subespaço: devemos checar se W contém o polinômio nulo, se é fechado sob soma e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Lembremos que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfaz três condições:
  1. o vetor nulo de V pertence a W,
  2. W é fechado sob soma (se u,vin W então u+vin W),
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar (se uin W e lambdainR então lambda uin W).

Passo 3

Verificamos o polinômio nulo 0(x)=0x^2+0x+0. Aqui a=0, b=0, c=0 e de fato
a = 0 = 2cdot 0 - 0 = 2b - c,
logo 0(x)in W.

Passo 4

Fechamento sob soma. Tomemos
p1(x)=a1x^2+b1x+c1, p2(x)=a2x^2+b2x+c2
em W. Então a1 = 2b1 - c1 e a2 = 2b2 - c2. A soma é
p1+p2 = (a1+a2)x^2 + (b1+b2)x + (c1+c2)
Se definirmos a = a1+a2, b = b1+b2, c = c1+c2, então
a = a1+a2 = (2b1 - c1) + (2b2 - c2) = 2(b1+b2) - (c1+c2) = 2b - c,
logo p1+p2in W.

Passo 5

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e p(x)=ax^2+bx+cin W, com a=2b-c. Então
lambda p(x) = (lambda a)x^2 + (lambda b)x + (lambda c)
Chamando tilde a=lambda a, tilde b=lambda b, tilde c=lambda c, temos
tilde a = lambda a = lambda(2b - c) = 2(lambda b) - (lambda c) = 2tilde b - tilde c,
logo lambda pin W.

Passo 6

Vimos que W contém o polinômio nulo, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar. Portanto, por definição, W é subespaço vetorial de P2.

Resposta

O conjunto dado é um subespaço vetorial de P2.

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