Verifique quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. O conteúdo envolvido é a definição de subespaço: devemos checar se
contém o polinômio nulo, se é fechado sob soma e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Lembremos que um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se, e somente se, satisfaz três condições:
- o vetor nulo de
pertence a , -
é fechado sob soma (se então ), -
é fechado sob multiplicação por escalar (se e então ).
Passo 3
Verificamos o polinômio nulo
. Aqui
,
,
e de fato
logo
.
Passo 4
Fechamento sob soma. Tomemos
em
. Então
e
. A soma é
Se definirmos
,
,
, então
logo
.
Passo 5
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
, com
. Então
Chamando
,
,
, temos
logo
.
Passo 6
Vimos que
contém o polinômio nulo, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar. Portanto, por definição,
é subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto dado é um subespaço vetorial de
.