Se det A=-3, calcule
a) det(A^2)
b) det(A^3)
c) det(5 A)
d) det(A^-1)
e) det(A^top)
f) det(2 A^top A^-1)

Passo 1

O enunciado considera uma matriz quadrada A de ordem n com det A=-3. Vamos usar as seguintes propriedades de determinantes:
  1. detl(A^kr)=(det A)^k.
  2. det(kA)=k^ndet A para matriz ntimes n.
  3. detl(A^-1r)=(det A)^-1.
  4. detl(A^topr)=det A.
  5. detl(BCr)=det Bcdotdet C.

Passo 2

Para (a) e (b) aplicamos detl(A^kr)=(det A)^k:
a) detl(A^2r)=(det A)^2=(-3)^2=9
b) detl(A^3r)=(det A)^3=(-3)^3=-27

Passo 3

Para (c) usamos det(5A)=5^ndet A. Logo,
det(5A)=5^ncdot(-3)=-3cdot5^n

Passo 4

Para (d) usamos detl(A^-1r)=(det A)^-1. Assim,
detl(A^-1r)=1det A=1-3=-tfrac13

Passo 5

Para (e) usamos detl(A^topr)=det A. Logo,
detl(A^topr)=-3

Passo 6

Para (f) note que
detl(2,A^topA^-1r) =detl(2Incdot A^topA^-1r) =det(2In),detl(A^topA^-1r)
Aqui det(2In)=2^n e
detl(A^topA^-1r) =detl(A^topr)detl(A^-1r) =(det A),(1/det A)=1
Portanto,
detl(2,A^topA^-1r)=2^ncdot1=2^n

Resposta

a) 9
b) -27
c) -3cdot5^n
d) -tfrac13
e) -3
f) 2^n

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