Encontre todos os auto-valores das matrizes abaixo:
а) (cc0 & 1 -2 & -3).
b) (ccc2 & 2 & 3 1 & 2 & 1 2 & -2 & 1).
c) (cccc1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 2).

Passo 1

Temos três matrizes e queremos seus autovalores. O conteúdo é “autovalores” de uma matriz A, que se obtêm resolvendo o polinômio característico
det(A - lambda I) = 0
Em matrizes triangulares, os autovalores são simplesmente as entradas da diagonal principal.

Passo 2

Para a matriz
A = 0 & 1 -2 & -3, calculamos
det(A - lambda I) =det-lambda & 1-2 & -3-lambda =lambda(3+lambda)+2 =lambda^2+3lambda+2
Resolvendo lambda^2+3lambda+2=0 obtemos lambda=-1 e lambda=-2.

Passo 3

Para
B=2&2&31&2&12&-2&1, temos
det(B-lambda I) =det2-lambda&2&31&2-lambda&12&-2&1-lambda =!-,lambda^3+5lambda^2-2lambda-8
Igualando a zero e multiplicando por -1,
lambda^3-5lambda^2+2lambda+8=0
Testamos lambda=2, que é raiz, e dividimos o polinômio por (lambda-2), restando lambda^2-3lambda-4. Suas raízes são
lambda=3pmraiz9+162=3pm52,
isto é, lambda=4 e lambda=-1. Logo os autovalores são 2,4,-1.

Passo 4

A matriz
C= 1&2&3&4 0&-1&3&2 0&0&3&3 0&0&0&2
é triangular superior. Seus autovalores são as entradas da diagonal principal, ou seja
1,,-1,,3,,2.

Resposta

(a) -1,,-2
(b) 2,,4,,-1
(c) 1,,-1,,3,,2

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