Calcule o determinante de todas as matrizes elementares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante de cada tipo de matriz elementar, isto é, das matrizes que implementam as três operações elementares de linha sobre
:
- troca de duas linhas,
- multiplicação de uma linha por um escalar
, - adição de
vezes a linha à linha .
Para isso vamos usar duas propriedades básicas do determinante:
– Se uma matriz é triangular, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal.
– A matriz de permutação que troca duas linhas tem determinante igual ao sinal da permutação (ou ).
Passo 2
Matriz elementar de troca de linhas
: é obtida trocando as linhas
e
da identidade
. Como essa permutação é de ordem ímpar (troca de um par), tem sinal
. Logo
Passo 3
Matriz elementar de escala de linha
: é igual à identidade, exceto no elemento
, que vale
em vez de
. Assim ela é triangular e sua diagonal é
Pelo produto dos elementos da diagonal, obtemos
Passo 4
Matriz elementar de adição de múltiplo de linha
(
): é a identidade com um
no posto
. Essa matriz também é triangular (superior ou inferior conforme a posição de
) e tem todos os uns na diagonal. Portanto
Resposta
– Troca de linhas
:
– Escala de linha :
– Adição de múltiplo de linha :
– Escala de linha
– Adição de múltiplo de linha