Calcule o determinante de todas as matrizes elementares.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de cada tipo de matriz elementar, isto é, das matrizes que implementam as três operações elementares de linha sobre ntimes n:
  1. troca de duas linhas,
  2. multiplicação de uma linha por um escalar k,
  3. adição de k vezes a linha j à linha i.
    Para isso vamos usar duas propriedades básicas do determinante:
    – Se uma matriz é triangular, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal.
    – A matriz de permutação que troca duas linhas tem determinante igual ao sinal da permutação ( +1 ou -1).

Passo 2

Matriz elementar de troca de linhas Pij: é obtida trocando as linhas i e j da identidade I. Como essa permutação é de ordem ímpar (troca de um par), tem sinal -1. Logo
detl(Pijr) = -1

Passo 3

Matriz elementar de escala de linha Ei(k): é igual à identidade, exceto no elemento (i,i), que vale k em vez de 1. Assim ela é triangular e sua diagonal é
1,dots,1,k,1,dots,1
Pelo produto dos elementos da diagonal, obtemos
detl(Ei(k)r)=k

Passo 4

Matriz elementar de adição de múltiplo de linha Eij(k) ( ineq j): é a identidade com um k no posto (i,j). Essa matriz também é triangular (superior ou inferior conforme a posição de i,j) e tem todos os uns na diagonal. Portanto
detl(Eij(k)r)=1

Resposta

– Troca de linhas Pij: det=-1
– Escala de linha Ei(k): det=k
– Adição de múltiplo de linha Eij(k): det=1

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