Dado o plano pi: x+y+z=3 e a reta y=2 x+1, z=3 x+2,
achar também o plano ortogonal a pi que contém r.

Passo 1

O enunciado dá o plano pi: x+y+z=3 e a reta
;y=2x+1,;z=3x+2,
e pede um plano sigma que seja ortogonal a pi e contenha a reta r.
O conteúdo envolvido é ortogonalidade de planos (normais perpendiculares) e equação de plano passando por reta.

Passo 2

Para que sigma seja ortogonal a pi, seu vetor normal nsigma deve ser perpendicular ao vetor normal de pi, que é
npi=(1,1,1).
Como sigma contém r, a direção de r, obtida pela parametrização
x=t, y=2t+1, z=3t+2,
é v=(1,2,3) e deve satisfazer nsigmacdotv=0.

Passo 3

Um vetor perpendicular a npi e a v é dado pelo produto vetorial
nsigma ;=;npitimesv =(1,1,1)times(1,2,3)=(1,-2,1)

Passo 4

A equação geral do plano sigma é
1cdot x-2cdot y+1cdot z + D = 0,
ou seja ;x-2y+z+D=0.
Para determinar D, usamos um ponto de r, por exemplo t=0 (0,1,2). Substituindo:
0 - 2cdot1 + 1cdot2 + D = 0 ;Longrightarrow; -2+2+D=0 ;Longrightarrow; D=0

Resposta

A equação do plano procurado é
x-2y+z=0

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