Se z=3-i, calcule:
(a) |z| e arg (z).
(b) O conjugado de z.
(c) O produto de z por seu conjugado.
(d) A divisão de z por seu conjugado.

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo z = 3 - i e pede:
(a) o módulo lvert zrvert e o argumento arg(z),
(b) o conjugado z,
(c) o produto zcdotz,
(d) a divisão z/z.
Vamos usar definições básicas de números complexos:
– Módulo lvert zrvert = raizx^2 + y^2 para z=x+iy.
– Argumento arg(z)=arctan!l(yxr), ajustando o quadrante.
– Conjugado z=x - iy.
– Produto e divisão padrão em forma algébrica.

Passo 2

Calcular lvert zrvert e arg(z).
Temos x=3 e y=-1.
Para o módulo:
lvert zrvert = raiz3^2 + (-1)^2 = raiz9 + 1 = raiz10
Para o argumento, em princípio
arg(z) = arctan!l(tfracyxr) = arctan!l(-tfrac13r)
Como z está no quarto quadrante, o argumento principal é
arg(z) = -arctan!l(tfrac13r)

Passo 3

Calcular o conjugado z.
Por definição, se z=3 - i então
z = 3 + i

Passo 4

Calcular o produto zcdotz.
Sabendo que zcdotz=lvert zrvert^2, temos
zcdotz = (raiz10)^2 = 10

Passo 5

Calcular a divisão z/z.
Escrevendo
zz = 3 - i3 + i
multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 3+i:
3 - i3 + i cdot 3 - i3 - i = (3 - i)^23^2 + 1^2 = 9 - 6i + i^210 = 9 - 6i -110 = 8 - 6i10 = 45 - 35i

Resposta

(a) lvert zrvert = raiz10, arg(z) = -arctan!l(tfrac13r).
(b) z = 3 + i.
(c) zcdotz = 10.
(d) zz = 45 - 35i.

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