Nesta questão, escolha uma função de interesse e aplique o método de Newton para encontrar uma de suas raízes. O relatório deve conter:
  • A definição clara do problema;
  • A fórmula iterativa aplicada;
  • Resultados numéricos detalhados (iterações);
  • Uma análise crítica sobre a eficiência do método no problema escolhido.

Passo 1

Beleza, vamos nessa! O que a questão pede é para escolher uma função que a gente acha interessante e aplicar o Método de Newton para encontrar uma das suas raízes. O Método de Newton é uma técnica matemática usada para aproximar soluções de equações (as raízes das funções). Para resolver isso, a gente precisa:
  • Definir claramente qual é a função que escolhemos;
  • Escrever a fórmula iterativa do Método de Newton;
  • Fazer as contas passo a passo (iterações) para chegar na raiz;
  • Analisar como o método se saiu nesse problema, vendo se foi eficiente ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que vamos trabalhar. Vamos escolher uma função simples para facilitar a compreensão. Vamos usar f(x) = x^2 - 2 . Essa função é interessante porque queremos encontrar a raiz que nos dá a raiz quadrada de 2.

Passo 3

Agora, precisamos da fórmula iterativa do Método de Newton. A fórmula é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • xn é a aproximação atual,
  • xn+1 é a próxima aproximação,
  • f'(xn) é a derivada da função no ponto xn .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a derivada da nossa função f(x) = x^2 - 2 . A derivada é:
f'(x) = 2x
Então, a fórmula do Método de Newton para nossa função fica:
xn+1 = xn - xn^2 - 22xn

Passo 5

Agora, vamos escolher um valor inicial para começar as iterações. Vamos supor que x0 = 1 .
Iteração 1:
x1 = 1 - 1^2 - 22 times 1 = 1 - -12 = 1 + 0,5 = 1,5
Iteração 2:
x2 = 1,5 - 1,5^2 - 22 times 1,5 = 1,5 - 2,25 - 23 = 1,5 - 0,253 approx 1,5 - 0,0833 = 1,4167
Iteração 3:
x3 = 1,4167 - 1,4167^2 - 22 times 1,4167 approx 1,4167 - 2,0069 - 22,8334 approx 1,4167 - 0,00692,8334 approx 1,4167 - 0,0024 = 1,4143
Iteração 4:
x4 = 1,4143 - 1,4143^2 - 22 times 1,4143 approx 1,4143 - 2,0000 - 22,8286 approx 1,4143 - 02,8286 = 1,4143

Passo 6

Agora, vamos analisar a eficiência do Método de Newton nesse caso. Vimos que com apenas 4 iterações conseguimos chegar bem perto do valor real de raiz2 approx 1,4142 . Isso mostra que o Método de Newton é bastante eficiente para encontrar raízes de funções, especialmente quando a função é bem comportada e a aproximação inicial não está muito longe da raiz real. Porém, é importante escolher um bom valor inicial e garantir que a derivada da função não seja zero no ponto de iteração, para evitar problemas na aplicação do método.

Resposta

O Método de Newton aplicado à função f(x) = x^2 - 2 encontrou a raiz raiz2 approx 1,4143 em 4 iterações, demonstrando ser uma técnica eficiente para esse tipo de problema.

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