Nesta questão, escolha uma função de interesse e aplique o método de Newton para encontrar uma de suas raízes. O relatório deve conter:
- A definição clara do problema;
- A fórmula iterativa aplicada;
- Resultados numéricos detalhados (iterações);
- Uma análise crítica sobre a eficiência do método no problema escolhido.
Passo 1
Beleza, vamos nessa! O que a questão pede é para escolher uma função que a gente acha interessante e aplicar o Método de Newton para encontrar uma das suas raízes. O Método de Newton é uma técnica matemática usada para aproximar soluções de equações (as raízes das funções). Para resolver isso, a gente precisa:
- Definir claramente qual é a função que escolhemos;
- Escrever a fórmula iterativa do Método de Newton;
- Fazer as contas passo a passo (iterações) para chegar na raiz;
- Analisar como o método se saiu nesse problema, vendo se foi eficiente ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que vamos trabalhar. Vamos escolher uma função simples para facilitar a compreensão. Vamos usar
. Essa função é interessante porque queremos encontrar a raiz que nos dá a raiz quadrada de 2.
Passo 3
Agora, precisamos da fórmula iterativa do Método de Newton. A fórmula é:
Onde:
-
é a aproximação atual, -
é a próxima aproximação, -
é a derivada da função no ponto .
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a derivada da nossa função
. A derivada é:
Então, a fórmula do Método de Newton para nossa função fica:
Passo 5
Agora, vamos escolher um valor inicial para começar as iterações. Vamos supor que
.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Passo 6
Agora, vamos analisar a eficiência do Método de Newton nesse caso. Vimos que com apenas 4 iterações conseguimos chegar bem perto do valor real de
. Isso mostra que o Método de Newton é bastante eficiente para encontrar raízes de funções, especialmente quando a função é bem comportada e a aproximação inicial não está muito longe da raiz real. Porém, é importante escolher um bom valor inicial e garantir que a derivada da função não seja zero no ponto de iteração, para evitar problemas na aplicação do método.
Resposta
O Método de Newton aplicado à função
encontrou a raiz
em 4 iterações, demonstrando ser uma técnica eficiente para esse tipo de problema.