Calcule:
(b)
\int_{0}^{1}(3 x+1)^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}(3x+1)^{4}\,dx
O conteúdo é integração de potência de função linear composta, e vamos usar substituição do tipo u=3x+1.

Passo 2

Definimos
u = 3x+1,
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du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Quando x=0, temos u=1. Quando x=1, temos u=4.

Passo 3

Fazendo a troca de variáveis na integral, obtemos
\int_{0}^{1}(3x+1)^{4}\,dx = \int_{u=1}^{4}u^{4}\,\frac{du}{3}.

Passo 4

Extraímos a constante \tfrac{1}{3}:
\frac{1}{3}\int_{1}^{4}u^{4}\,du.
Como \displaystyle\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5}, fica
\frac{1}{3}\left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{1}^{4}.

Passo 5

Avalia-se nos limites:
\frac{1}{3}\Bigl(\frac{4^{5}}{5}-\frac{1^{5}}{5}\Bigr) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1024-1}{5} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1023}{5} = \frac{1023}{15} = \frac{341}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{341}{5}

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