Calcule:
(a)
\int_{1}^{2}(x-2)^{5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}(x-2)^{5}\,dx
O conteúdo principal aqui é usar a técnica de substituição simples para integrar uma potência de (x-2).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x - 2,
então
du = dx.
Quando x=1, temos u=1-2=-1. Quando x=2, temos u=2-2=0. Logo a integral em x vira uma integral em u:
\int_{1}^{2}(x-2)^{5}\,dx = \int_{u=-1}^{0}u^{5}\,du.

Passo 3

Para \int u^{5}\,du, usamos a regra da potência:
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6} + C.

Passo 4

Agora avaliamos a antiderivada de u=-1 até u=0:
\left.\frac{u^{6}}{6}\right|_{-1}^{0} = \frac{0^{6}}{6} \;-\;\frac{(-1)^{6}}{6} = 0 - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6}.

Resposta

-\frac{1}{6}

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