O valor de
\int_{2}^{3} \frac{x^{2}+4 x-1}{x^{3}-x} d x
( ) \ln \frac{2 \pi}{6}
() \ln \frac{2 \alpha}{3}
() \ln \frac{15}{5}
() \ln \frac{16}{3}
() \ln \frac{3}{8}
() \ln \frac{8}{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{2}^{3}\frac{x^{2}+4x-1}{x^{3}-x}\,dx
usando a técnica de frações parciais, pois o denominador fatoriza em termos lineares.

Passo 2

Fatoramos o denominador e montamos a decomposição:
x^{3}-x = x\,(x-1)\,(x+1),
é procurada uma escrita
\frac{x^{2}+4x-1}{x\,(x-1)\,(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{\,x-1\,}+\frac{C}{\,x+1\,}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x-1)(x+1)\) e agrupando termos, obtemos \[x^{2}+4x-1 = A(x^{2}-1)+B(x^{2}+x)+C(x^{2}-x).
Comparando coeficientes resulta o sistema
\begin{cases} A+B+C=1,\\\ B-C=4,\\\\ -A=-1, \end{cases}
cuja solução é A=1\], \(B=2, C=-2.

Passo 4

Logo
\frac{x^{2}+4x-1}{x^{3}-x} =\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}-\frac{2}{x+1}.
Integrando termo a termo
\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|,\quad \int\frac{2}{x-1}dx=2\ln|x-1|,\quad \int\frac{2}{x+1}dx=2\ln|x+1|.
Portanto um antiderivado é
F(x)=\ln|x|+2\ln|x-1|-2\ln|x+1|.

Passo 5

Avaliando de 2 a 3:
F(3)=\ln3+2\ln2-2\ln4=\ln3-2\ln2=\ln\frac{3}{4},
F(2)=\ln2+2\ln1-2\ln3=\ln2-2\ln3=\ln\frac{2}{9}.

Passo 6

O valor da integral é
F(3)-F(2) =\ln\frac{3}{4}-\ln\frac{2}{9} =\ln\Bigl(\frac{3/4}{2/9}\Bigr) =\ln\frac{27}{8}.

Resposta

\ln\frac{27}{8}

Exercícios relacionados