Calcule:
(f)
\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é o uso de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} \qquad\Longrightarrow\qquad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0, temos u=0; quando x=1, temos u=1. Assim,
\int_{0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{u=1} e^{u}\,\frac{du}{2} = \frac12 \int_{0}^{1} e^{u}\,du.

Passo 3

A integral de e^{u} é e^{u}. Portanto,
\frac12 \int_{0}^{1} e^{u}\,du = \frac12\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac12\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = \frac12\bigl(e-1\bigr).

Resposta

\frac{e-1}{2}

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