Calcule:
(c)
\int_{0}^{1} \sqrt{3 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \sqrt{3x+1}\,dx.
Este é um problema de integração de função composta, em que usamos a técnica de substituição para simplificar o integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x + 1,
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du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Quando x=0, u=3\cdot0+1=1.
Quando x=1, u=3\cdot1+1=4.
Assim a integral vira
\int_{0}^{1} \sqrt{3x+1}\,dx = \int_{u=1}^{u=4} \sqrt{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{1}^{4} u^{\tfrac12}\,du.

Passo 3

Calculamos a antiderivada de u^{\tfrac12}:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}.
Portanto
\frac{1}{3}\int_{1}^{4} u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}\Big|_{1}^{4} = \frac{2}{9}\,u^{\tfrac32}\Big|_{1}^{4}.

Passo 4

Avaliaremos nos limites:
\frac{2}{9}\bigl(4^{\tfrac32}-1^{\tfrac32}\bigr) = \frac{2}{9}\bigl(8-1\bigr) = \frac{2}{9}\times7 = \frac{14}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{14}{9}

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