Calcule
b) integral sen^2(x) cos ^4(x) d x=

Passo 1

Vamos resolver o exercício: Calcular .
Estamos trabalhando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica que relaciona cos^2(x) = 1 - sin^2(x) com cos^4(x) = (cos^2(x))^2 = (1 - sin^2(x))^2 . Sabemos que:
Portanto,

Passo 3

Substituindo integral sin^2(x) (1 - sin^2(x))^2 , dx na integral, temos:

Passo 4

Vamos expandir o termo (1 - sin^2(x))^2 = 1 - 2sin^2(x) + sin^4(x) :
integral sin^2(x) (1 - 2sin^2(x) + sin^4(x)) , dx = integral sin^2(x) - 2sin^4(x) + sin^6(x) , dx
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos separar a integral em três partes:
integral sin^2(x) , dx - 2integral sin^4(x) , dx + integral sin^6(x) , dx

Passo 6

Para integrar potências pares de seno, usamos a identidade de redução:
sin^2n(x) = (1 - cos(2x))2 times sin^2n-2(x)
Vamos aplicar essa identidade para cada uma das integrais:

Passo 7

Calculando cada integral separadamente:
  1. Integral de integral sin^2(x) , dx = x2 - sin(2x)4 + C :
integral sin^4(x) , dx = 3x8 - sin(2x)4 + sin(4x)32 + C
  1. Integral de integral sin^6(x) , dx = 5x16 - 15sin(2x)32 + 3sin(4x)32 - sin(6x)192 + C :
Usando a identidade de redução duas vezes:
  1. Integral de :
Aplicando a identidade de redução três vezes:

Passo 8

Substituindo as integrais encontradas de volta na expressão original:
(x2 - sin(2x)4) - 2(3x8 - sin(2x)4 + sin(4x)32) + (5x16 - 15sin(2x)32 + 3sin(4x)32 - sin(6x)192) + C

Passo 9

Agora, vamos simplificar os termos:
x2 - sin(2x)4 - 6x8 + 2sin(2x)4 - 2sin(4x)32 + 5x16 - 15sin(2x)32 + 3sin(4x)32 - sin(6x)192 + C
Simplificando os coeficientes:
5x16 - 15sin(2x)32 + 3sin(4x)32 - sin(6x)192 + C

Resposta

integral sin^2(x) cos^4(x) , dx = 5x16 - 15,sin(2x)32 + 3,sin(4x)32 - sin(6x)192 + C

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