Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes
v) integral1^e x^2 ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente aplicando a integração por partes que é útil quando temos o produto de duas funções, como e . Para isso, precisamos identificar qual parte da função vai ser “u” e qual vai ser “dv” na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Lembra que a fórmula da integração por partes é . Vamos escolher:
  • (porque sua derivada é mais simples)
  • (porque é fácil de integrar)

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^2 ln(x) , dx = ln(x) cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x , dx
Simplificando a segunda integral:
ln(x) cdot x^33 - 13 integral x^2 , dx

Passo 5

Vamos integrar integral x^2 , dx = x^33 :
ln(x) cdot x^33 - 13 cdot x^33 = x^3 ln(x)3 - x^39
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão de 1 a [ x^3 ln(x)3 - x^39 ]1^e :
e^3 ln(e)3 - e^39 = e^3 cdot 13 - e^39 = e^33 - e^39 = 2e^39
Calculando em 1^3 ln(1)3 - 1^39 = 03 - 19 = -19 :
E em :

Passo 7

Subtraindo os valores:
2e^39 - (-19) = 2e^39 + 19 = 2e^3 + 19

Resposta

A integral é igual a .

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