Calcule:
b) integral (2 x+7)x^2+2 x+5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o cálculo da integral:
integral 2x + 7x^2 + 2x + 5 , dx
Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente o tema de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar conhecer técnicas de integração, como a divisão de polinômios e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: $ x^{2} + 2x + 5 $. A ideia é completar o quadrado para simplificar a expressão. Completar o quadrado ajuda a transformar a expressão quadrática em uma forma que facilita a integração.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para o denominador:
x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)^2 + 4
Agora, nossa integral fica:
integral 2x + 7(x + 1)^2 + 4 , dx

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja $ u = x + 1 $, então $ du = dx $. Também, $ x = u - 1 $. Substituindo na integral:
u = x + 1

Passo 5

Agora, vamos separar a fração em duas partes:
integral 2uu^2 + 4 , du + integral 5u^2 + 4 , du
A primeira parte parece com a derivada do denominador, e a segunda parte é uma integral que envolve a função arctangente.

Passo 6

Resolvendo a primeira integral:
integral 2uu^2 + 4 , du
Observe que o numerador é a derivada do denominador. Portanto, essa integral é igual a:
ln|u^2 + 4| + C
Mas como estamos trabalhando com integrais indefinidas, podemos apenas escrever $ \ln(u^{2} + 4) $.

Passo 7

Resolvendo a segunda integral:
integral 5u^2 + 4 , du
Essa é uma forma padrão que resulta em uma função arctangente. Sabemos que:
integral 1u^2 + a^2 , du = 1a arctan(ua) + C
Aqui, $ a^{2} = 4 $, então $ a = 2 $. Aplicando isso:
a^2 = 4

Passo 8

Agora, juntando as duas partes da integral:
ln(u^2 + 4) + 52 arctan(u2) + C
Lembrando que $ u = x + 1 $, vamos substituir de volta:
u = x + 1

Resposta

A integral é igual a:
ln((x + 1)^2 + 4) + 52 arctan(x + 12) + C

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