Calcule:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o cálculo da integral:
Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente o tema de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar conhecer técnicas de integração, como a divisão de polinômios e substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: $ x^{2} + 2x + 5 $. A ideia é completar o quadrado para simplificar a expressão. Completar o quadrado ajuda a transformar a expressão quadrática em uma forma que facilita a integração.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para o denominador:
Agora, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja $ u = x + 1 $, então $ du = dx $. Também, $ x = u - 1 $. Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos separar a fração em duas partes:
A primeira parte parece com a derivada do denominador, e a segunda parte é uma integral que envolve a função arctangente.
Passo 6
Resolvendo a primeira integral:
Observe que o numerador é a derivada do denominador. Portanto, essa integral é igual a:
Mas como estamos trabalhando com integrais indefinidas, podemos apenas escrever $ \ln(u^{2} + 4) $.
Passo 7
Resolvendo a segunda integral:
Essa é uma forma padrão que resulta em uma função arctangente. Sabemos que:
Aqui, $ a^{2} = 4 $, então $ a = 2 $. Aplicando isso:
Passo 8
Agora, juntando as duas partes da integral:
Lembrando que $ u = x + 1 $, vamos substituir de volta:
Resposta
A integral é igual a: