Seja sinh x=e^x-e^-x2 e cosh x=e^x+e^-x2.
c) Em sinh x=cosh y, determine d yd x por diferenciação implícita.

Passo 1

Beleza! A gente tem a equação sinh x = cosh y e precisa descobrir como y muda em relação a x, ou seja, encontrar dydx usando diferenciação implícita. Para isso, vamos precisar saber como derivar as funções hiperbólicas sinh e cosh.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as derivadas das funções hiperbólicas:
  • A derivada de sinh x é cosh x.
  • A derivada de cosh y é sinh y multiplicada pela derivada de y em relação a x, ou seja, sinh y cdot dydx. Isso porque y é uma função de x, e usamos a regra da cadeia aqui.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação sinh x = cosh y em relação a x:
ddx (sinh x) = ddx (cosh y)
Usando as derivadas que a gente lembrou:
cosh x = sinh y cdot dydx

Passo 4

Queremos isolar dydx. Para isso, vamos dividir os dois lados da equação por sinh y:
dydx = cosh xsinh y

Passo 5

Lembrando que a gente tem a relação original sinh x = cosh y, podemos expressar sinh y em termos de sinh x. Mas, na verdade, essa relação não nos dá diretamente sinh y em função de x, então precisamos manter a expressão como está.

Passo 6

Conclusivamente, a derivada dydx fica:
dydx = cosh xsinh y

Resposta

A derivada dydx é igual a cosh xsinh y.

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