Para as funções hiperbólicas inversas:
b) Expresse, em termos de logaritmo natural,o valor de tanh ^-1(-45).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para a gente expressar, usando logaritmo natural, o valor de tanh^-1(-45). Esse exercício está dentro do conteúdo de funções hiperbólicas inversas. Para resolver isso, vamos precisar saber como a função inversa da tangente hiperbólica, tanh^-1(x), se relaciona com logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da função hiperbólica inversa da tangente hiperbólica. A fórmula é:
tanh^-1(x) = 12 ln(1 + x1 - x)
Isso significa que para qualquer valor de x dentro do intervalo de definição da função, a tangente hiperbólica inversa pode ser escrita em termos de logaritmos naturais usando essa expressão.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula ao valor que a gente tem: x = -45. Substituindo na fórmula, temos:
tanh^-1(-45) = 12 ln(1 + (-45)1 - (-45))

Passo 4

Vamos simplificar dentro do logaritmo. Primeiro, calcular o numerador e o denominador separadamente:
1 + (-45) = 1 - 45 = 15
1 - (-45) = 1 + 45 = 95
Então, substituindo de volta na expressão:
tanh^-1(-45) = 12 ln(1595)

Passo 5

Agora, vamos dividir as frações dentro do logaritmo:
1595 = 15 times 59 = 19
Então, a expressão fica:
tanh^-1(-45) = 12 ln(19)

Passo 6

Sabemos que ln(19) é o mesmo que -ln(9). Então, substituindo:
tanh^-1(-45) = 12 times (-ln(9)) = -12 ln(9)

Resposta

Portanto, tanh^-1(-45) = -12 ln(9).

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