Para as funções hiperbólicas inversas:
b) Expresse, em termos de logaritmo natural,o valor de
.
b) Expresse, em termos de logaritmo natural,o valor de
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para a gente expressar, usando logaritmo natural, o valor de
. Esse exercício está dentro do conteúdo de funções hiperbólicas inversas. Para resolver isso, vamos precisar saber como a função inversa da tangente hiperbólica,
, se relaciona com logaritmos naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da função hiperbólica inversa da tangente hiperbólica. A fórmula é:
Isso significa que para qualquer valor de
dentro do intervalo de definição da função, a tangente hiperbólica inversa pode ser escrita em termos de logaritmos naturais usando essa expressão.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula ao valor que a gente tem:
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Vamos simplificar dentro do logaritmo. Primeiro, calcular o numerador e o denominador separadamente:
Então, substituindo de volta na expressão:
Passo 5
Agora, vamos dividir as frações dentro do logaritmo:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Sabemos que
é o mesmo que
. Então, substituindo:
Resposta
Portanto,
.