Calcule B^5, em que B=[lll1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular ,B^5, em que
B= 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1
O conteúdo usado será potência de matrizes e o Teorema de Cayley–Hamilton, que diz que toda matriz quadrada satisfaz seu próprio polinômio característico. Com isso podemos reduzir potências altas de B a combinações de I, B e B^2.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico p(lambda)=det(B-lambda I). Temos
B-lambda I = 1-lambda & 0 & 1 1 & 1-lambda & 2 1 & 2 & 1-lambda
Calculando o determinante pela primeira linha:
p(lambda) =(1-lambda)det1-lambda&22&1-lambda +1cdotdet1&1-lambda1&2
Desenvolvendo,
det1-lambda&22&1-lambda =(1-lambda)^2-4, det1&1-lambda1&2=2-(1-lambda)=1+lambda
Logo
p(lambda) =(1-lambda)l((1-lambda)^2-4r)+(1+lambda) =-lambda^3+3lambda^2+2lambda-2
Multiplicando por -1, obtemos
lambda^3-3lambda^2-2lambda+2=0

Passo 3

Pelas raízes de p(lambda) achamos lambda1=-1 e lambda2,3=2pmraiz2. Como são três valores distintos, B é diagonalizável e, pelo Teorema de Cayley–Hamilton,
B^3-3B^2-2B+2I=0 Longrightarrow B^3=3B^2+2B-2I

Passo 4

Usamos a relação acima para obter B^4 e B^5. Primeiro,
B^4=Bcdot B^3 =3B^3+2B^2-2B =3(3B^2+2B-2I)+2B^2-2B =11B^2+4B-6I
Em seguida,
B^5=Bcdot B^4 =11B^3+4B^2-6B =11(3B^2+2B-2I)+4B^2-6B =37B^2+16B-22I

Passo 5

Agora calculamos diretamente B^2:
B^2 = 1&0&11&1&21&2&1 1&0&11&1&21&2&1 = 2&2&24&5&54&4&6

Passo 6

Substituindo em B^5=37B^2+16B-22I, temos
37B^2= 74&74&74148&185&185148&148&222 , 16B= 16&0&1616&16&3216&32&16 , 22I= 22&0&00&22&00&0&22
Somando e subtraindo:
B^5 = 74+16-22 & 74+0 & 74+16 148+16 &185+16-22 &185+32 148+16 &148+32 &222+16-22 = 68&74&90 164&179&217 164&180&216

Resposta

B^5 = 68 & 74 & 90 164 & 179 & 217 164 & 180 & 216

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