Descreva, em palavras, o que acontece quando se calcula A^5, A^10, A^20 e A^30 para A= [rrr1 / 6 & 1 / 2 & 1 / 3 1 / 2 & 1 / 4 & 1 / 4 1 / 3 & 1 / 4 & 5 / 12].

Passo 1

O enunciado pede para descrever o comportamento das potências A^5, A^10, A^20 e A^30 da matriz
A = tfrac16 & tfrac12 & tfrac13[6pt] tfrac12 & tfrac14 & tfrac14[6pt] tfrac13 & tfrac14 & tfrac512
O conteúdo envolvido é análise de potências de matrizes estocásticas (cadeias de Markov), que tende a um estado de equilíbrio.]

Passo 2

Verificamos que cada linha de ,A soma 1 e todas as entradas são positivas, logo ,A é uma matriz de transição de uma cadeia de Markov regular. Pelo Teorema de cadeias de Markov regulares, ,A^n converge, quando ntoinfty, para uma matriz de posto 1 cujas linhas são todas iguais ao vetor estacionário.

Passo 3

Para encontrar o vetor estacionário ,pi=(pi1,pi2,pi3) resolvemos
pi = pi,A e pi1+pi2+pi3=1
Das equações
pi1 = tfrac16,pi1 + tfrac12,pi2 + tfrac13,pi3, pi2 = tfrac12,pi1 + tfrac14,pi2 + tfrac14,pi3,
segue-se que pi1=pi2=pi3. Pela soma unitária,
pi1=pi2=pi3=tfrac13

Passo 4

Portanto
limntoinfty A^n = tfrac13 & tfrac13 & tfrac13[6pt] tfrac13 & tfrac13 & tfrac13[6pt] tfrac13 & tfrac13 & tfrac13 ,
e as potências A^5, A^10, A^20 e A^30 aproximam-se cada vez mais dessa matriz limite à medida que n cresce.
Em termos práticos, conforme elevamos A a potências maiores, todas as entradas de A^n convergem para tfrac13. Isso significa que, independentemente da distribuição inicial, o sistema “perde memória” e atinge uma distribuição uniforme em cada estado.]

Resposta

Quando calculamos A^5, A^10, A^20 e A^30, as matrizes resultantes têm suas entradas cada vez mais próximas de tfrac13. Em outras palavras, as potências de A convergem para uma matriz cujas três linhas são iguais a l(tfrac13,tfrac13,tfrac13r), refletindo a distribuição de equilíbrio uniforme da cadeia de Markov.

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