Seja A=(rrrr-3 & 3 & -4 & 0 1 & 1 & 2 & 2 2 & -1 & 3 & 1 0 & 3 & 1 & 3). Existe uma matriz B neq 0 tal que A B=0 ? Existe uma matriz C neq 0 tal que C A=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = -3 & 3 & -4 & 0 1 & 1 & 2 & 2 2 & -1 & 3 & 1 0 & 3 & 1 & 3
e pergunta se existem matrizes não nulas B e C tais que
A,B = 0 e C,A = 0
Isto equivale a verificar se o núcleo (à direita) de A e o núcleo (à esquerda) de A são não triviais, ou seja, se ker(A)neq0 e ker(A^T)neq0.

Passo 2

Calcular para saber se é singular. Expansão por co-fatores ao longo da primeira linha:
Logo , portanto e .

Passo 3

Encontrar um gerador de ker(A) fazendo eliminação de Gauss em A. Após permutar linhas e combinar, obtemos a forma reduzida
1 & 0 & tfrac53 & 1 0 & 1 & tfrac13 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Dessa forma as variáveis livres são x3=s e x4=t, com
x1=-tfrac53,s - t, x2=-tfrac13,s - t
Escolhendo s=3, t=1 obtemos dois vetores independentes em ker(A):
l(-5,-1,3,0r)^T e l(-1,-1,0,1r)^T.
Logo podemos tomar
B = -5 & -1 -1 & -1 3 & 0 0 & 1 ,
que satisfaz A,B=0 e Bneq0.

Passo 4

Para ker(A^T) resolvemos A^T y=0. As equações levam a
y2 = 3y1 - 2y3, y4 = y3 - 2y1,
com parâmetros y1=a, y3=b. Escolhendo (a,b)=(1,0) e (0,1) achamos dois vetores em ker(A^T):
(1,3,0,-2) e (0,-2,1,1).
Portanto podemos tomar
C = 1 & 3 & 0 & -2 0 & -2 & 1 & 1 ,
que satisfaz C,A=0 e Cneq0.

Resposta

Sim. Por exemplo,
B = -5 & -1 -1 & -1 3 & 0 0 & 1 satisfaz A,B = 0,
e
C = 1 & 3 & 0 & -2 0 & -2 & 1 & 1 satisfaz C,A = 0

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