Seja
. Existe uma matriz
B neq 0 tal que
A B=0 ? Existe uma matriz
C neq 0 tal que
C A=0 ?
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pergunta se existem matrizes não nulas
B e
C tais que
Isto equivale a verificar se o núcleo (à direita) de
A e o núcleo (à esquerda) de
A são não triviais, ou seja, se
ker(A)neq0 e
ker(A^T)neq0 .
Passo 2
Calcular
para saber se
é singular. Expansão por co-fatores ao longo da primeira linha:
Logo , portanto
e
.
Passo 3
Encontrar um gerador de
ker(A) fazendo eliminação de Gauss em
A . Após permutar linhas e combinar, obtemos a forma reduzida
Dessa forma as variáveis livres são
x3=s e
x4=t , com
Escolhendo
s=3 ,
t=1 obtemos dois vetores independentes em
ker(A) :
l(-5,-1,3,0r)^T e
l(-1,-1,0,1r)^T .
Logo podemos tomar
Logo podemos tomar
que satisfaz
A,B=0 e
Bneq0 .
Passo 4
Para
ker(A^T) resolvemos
A^T y=0 . As equações levam a
com parâmetros
y1=a ,
y3=b . Escolhendo
(a,b)=(1,0) e
(0,1) achamos dois vetores em
ker(A^T) :
(1,3,0,-2) e
(0,-2,1,1) .
Portanto podemos tomar
Portanto podemos tomar
que satisfaz
C,A=0 e
Cneq0 .
Resposta
Sim. Por exemplo,
e