Diga se verdadeiro ou falso. Se for falso, dê um exemplo numérico onde a afirmação não seja válida. Se for verdadeiro, prove de forma geral.
Se A e B são matrizes simétricas do mesmo tamanho, então A B=B A.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas matrizes quadradas A e B tais que
A^T=A e B^T=B,
é sempre verdade que
AB=BA
Para resolver, vamos lembrar que em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa e bastará achar um contraexemplo numérico de matrizes simétricas que não comutem.

Passo 2

Considere as matrizes 2times2
A = 0 & 1[6pt]1 & 0, B = 1 & 2[6pt]2 & 3
Ambas são simétricas, pois A^T=A e B^T=B. Vamos calcular AB e BA.
AB = 0cdot1 + 1cdot2 & 0cdot2 + 1cdot3[6pt] 1cdot1 + 0cdot2 & 1cdot2 + 0cdot3 = 2 & 3[4pt] 1 & 2 ,
BA = 1cdot0 + 2cdot1 & 1cdot1 + 2cdot0[6pt] 2cdot0 + 3cdot1 & 2cdot1 + 3cdot0 = 2 & 1[4pt] 3 & 2
Claramente ,ABneq BA.]

Resposta

Falso. Por exemplo,
A = 0 & 11 & 0, B = 1 & 22 & 3,
são simétricas e não comutam, pois ABneq BA.

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