Calcule:
(b) integralgamma F cdot d r, onde F(x, y)=xx^2+y^2 i+yx^2+y^2 j e gamma:[a, b] R^2 backslash(0,0) é uma curva de classe mathscrC^1 por partes e fechada, isto é, gamma(a)=gamma(b).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada
ointgammaFcdot dvec r
para
vec F(x,y)=xx^2+y^2,vec i+yx^2+y^2,vec j
e gamma é curva fechada em R^2setminus(0,0).
O conteúdo principal é identificar se vec F é campo conservativo e, em caso afirmativo, achar um potencial escalar para aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Verificamos a conservatividade em Omega=R^2setminus(0,0) checando
P(x,y)=xx^2+y^2, Q(x,y)=yx^2+y^2
Calculemos
partial Ppartial y =partialpartial yl(xx^2+y^2r) =-2xy(x^2+y^2)^2, partial Qpartial x =partialpartial xl(yx^2+y^2r) =-2xy(x^2+y^2)^2
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em toda Omega, vec F é conservativo lá.

Passo 3

Para achar o potencial phi(x,y) tal que nablaphi=vec F, integramos P em relação a x:
phi(x,y) =integral xx^2+y^2,dx =12lnl(x^2+y^2r)+C(y)
Como partialphi/partial y deve dar Q, obtemos C'(y)=0, logo C é constante.
Portanto
phi(x,y)=12lnl(x^2+y^2r)
é potencial de vec F em Omega.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, para curva fechada gamma:
ointgammavec Fcdot dvec r =phil(gamma(b)r)-phil(gamma(a)r)
Como gamma(b)=gamma(a), temos
phi(gamma(b))-phi(gamma(a))=0.

Resposta

ointgammavec Fcdot dvec r = 0

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