Calcule:
(b)
, onde
e
é uma curva de classe
por partes e fechada, isto é,
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha fechada
para
e é curva fechada em
.
O conteúdo principal é identificar se é campo conservativo e, em caso afirmativo, achar um potencial escalar para aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
para
e
O conteúdo principal é identificar se
Passo 2
Verificamos a conservatividade em
checando
Calculemos
Como
em toda
,
é conservativo lá.
Passo 3
Para achar o potencial
tal que
, integramos
em relação a
:
Como
deve dar
, obtemos
, logo
é constante.
Portanto
Portanto
é potencial de
em
.
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, para curva fechada
:
Como
, temos
.