Diga se converge a série sumn=0^infty e^-n, e em caso de convergência, diga o valor da soma.

Passo 1

Temos a série
sumn=0^inftye^-n
e queremos verificar convergência e, se convergente, calcular sua soma. O conteúdo é séries infinitas do tipo geométrico.

Passo 2

Observe que o termo geral é
an = e^-n = l(e^-1r)^n,
portanto é uma série geométrica com primeiro termo
a = l(e^-1r)^0 = 1
e razão
r = e^-1

Passo 3

Como lvert rrvert = e^-1<1, a série geométrica converge. A soma de uma série geométrica é
S = a1-r
Substituindo a=1 e r=e^-1, temos
S = 11 - e^-1 = 1e-1e = ee-1

Resposta

Converge e
sumn=0^inftye^-n = ee-1

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