1. Encontre os intervalos de concavidade para f(x)=x^3-6 x^2+12 x.
    Concavidade e pontos de inflexão, Intervalos de crescimento/decrescimento, Pontos críticos

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^3-6x^2+12x
e pede:
– intervalos de crescimento/decrescimento e pontos críticos;
– intervalos de concavidade e ponto(s) de inflexão.
Para isso, vamos precisar da primeira e da segunda derivada de f e analisar seus sinais.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada:
f'(x)=ddxl(x^3-6x^2+12xr) =3x^2-12x+12 =3(x^2-4x+4) =3(x-2)^2
Os pontos críticos satisfazem f'(x)=0, logo
3(x-2)^2=0 Longrightarrow x=2

Passo 3

Para saber onde f cresce ou decresce, analisamos o sinal de f'(x)=3(x-2)^2.
Como (x-2)^2>=0 para todo x e só é zero em x=2, temos
f'(x)>0 para todo xneq2;
f'(2)=0.
Isto implica que f é estritamente crescente em (-infty,2) e em (2,infty), e não há intervalo onde f decresça. O único ponto crítico é x=2, mas como o sinal de f' não muda de positivo para negativo nem vice-versa, não ocorre máximo nem mínimo aí.

Passo 4

Agora a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(3x^2-12x+12r) =6x-12 =6(x-2)
Os candidatos a ponto de inflexão satisfazem f''(x)=0, ou seja x=2.

Passo 5

Analisando o sinal de f''(x)=6(x-2):
– Para x<2, x-2<0 Rightarrow f''(x)<0, concavidade para baixo.
– Para x>2, x-2>0 Rightarrow f''(x)>0, concavidade para cima.
Portanto f é côncava para baixo em (-infty,2) e côncava para cima em (2,infty).

Passo 6

Como f'' muda de sinal em x=2, há ponto de inflexão em x=2. A ordenada é
f(2)=2^3-6cdot2^2+12cdot2=8-24+24=8
Logo o ponto de inflexão é (2,8).

Resposta

Intervalos de crescimento: (-infty,2)cup(2,infty)
Intervalos de decrescimento: nenhum
Ponto crítico: x=2 (sem extremo)
Intervalo de concavidade para baixo: (-infty,2)
Intervalo de concavidade para cima: (2,infty)
Ponto de inflexão: (2,8)

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