- Encontre os intervalos de concavidade para
.
Concavidade e pontos de inflexão, Intervalos de crescimento/decrescimento, Pontos críticos
Concavidade e pontos de inflexão, Intervalos de crescimento/decrescimento, Pontos críticos
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
– intervalos de crescimento/decrescimento e pontos críticos;
– intervalos de concavidade e ponto(s) de inflexão.
Para isso, vamos precisar da primeira e da segunda derivada de e analisar seus sinais.
– intervalos de crescimento/decrescimento e pontos críticos;
– intervalos de concavidade e ponto(s) de inflexão.
Para isso, vamos precisar da primeira e da segunda derivada de
Passo 2
Calculemos a primeira derivada:
Os pontos críticos satisfazem
, logo
Passo 3
Para saber onde
cresce ou decresce, analisamos o sinal de
.
Como para todo
e só é zero em
, temos
– para todo
;
– .
Isto implica que é estritamente crescente em
e em
, e não há intervalo onde
decresça. O único ponto crítico é
, mas como o sinal de
não muda de positivo para negativo nem vice-versa, não ocorre máximo nem mínimo aí.
Como
–
–
Isto implica que
Passo 4
Agora a segunda derivada:
Os candidatos a ponto de inflexão satisfazem
, ou seja
.
Passo 5
Analisando o sinal de
:
– Para ,
, concavidade para baixo.
– Para ,
, concavidade para cima.
Portanto é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
– Para
– Para
Portanto
Passo 6
Como
muda de sinal em
, há ponto de inflexão em
. A ordenada é
Logo o ponto de inflexão é
.
Resposta
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento: nenhum
Ponto crítico: (sem extremo)
Intervalo de concavidade para baixo:
Intervalo de concavidade para cima:
Ponto de inflexão:
Intervalos de decrescimento: nenhum
Ponto crítico:
Intervalo de concavidade para baixo:
Intervalo de concavidade para cima:
Ponto de inflexão: