U=(x, y, z, w) in R^4: x-y+z-w=0
a) Calcule uma base ortonormada para U^perp;

Passo 1

O subespaço
U = (x,y,z,w)in R^4 mid x - y + z - w = 0
é um hiperplano em R^4. O complemento ortogonal U^perp consiste em todos os vetores que são ortogonais a cada vetor de U. Para encontrar uma base ortonormada de U^perp, precisamos (i) identificar o vetor normal ao hiperplano e (ii) normalizá-lo.

Passo 2

A equação x - y + z - w = 0 indica que o vetor
n = (1,,-1,,1,,-1)
é ortogonal a todo vetor de U. Portanto, n é uma base (não normalizada) de U^perp.

Passo 3

Vamos normalizar n. Primeiro calculamos sua norma:
|n| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 = 2
Dividindo n por 2, obtemos o vetor unitário
u = 12,(1,,-1,,1,,-1) = l(tfrac12,,-tfrac12,,tfrac12,,-tfrac12r)
Logo, u é uma base ortonormada de U^perp.

Resposta

Uma base ortonormada para U^perp é
ll(tfrac12,,-tfrac12,,tfrac12,,-tfrac12r)r

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