U=(x, y, z, w) in R^4: x-y+z=y-z+w=0
a) Calcule uma base ortonormada para U;

Passo 1

O espaço UsubsetR^4 é dado pelas duas restrições lineares
x - y + z = 0, y - z + w = 0
Como são duas equações independentes em R^4, dim U = 4-2 = 2. Para achar uma base ortonormal vamos primeiro encontrar uma base qualquer de U, depois aplicar o processo de Gram–Schmidt e, por fim, normalizar os vetores.

Passo 2

Resolvendo
x - y + z = 0 Longrightarrow x = y - z,
y - z + w = 0 Longrightarrow w = z - y,
podemos parametrizar (x,y,z,w) por y e z:
(x,y,z,w) = l(y-z,,y,,z,,z-yr) = y,(1,1,0,-1);+;z,(-1,0,1,1)
Assim uma base natural de U é
b1 = (1,1,0,-1), b2 = (-1,0,1,1)

Passo 3

Vamos aplicar Gram–Schmidt em b1,b2 usando o produto interno canônico.
Calculemos primeiro
lang<= b1,b1rang<= = 1^2+1^2+0^2+(-1)^2 = 3, lang<= b1,b2rang<= = (1)(-1)+(1)(0)+0cdot1+(-1)cdot1 = -2
Projete b2 sobre b1:
projb1b2 = lang<= b2,b1rang<=lang<= b1,b1rang<=,b1 = -23,b1
Em seguida defina o vetor ortogonal
u2 = b2 - projb1b2 = b2 + 23,b1 = l(-1,0,1,1r) + 23l(1,1,0,-1r) = l(-tfrac13,;tfrac23,;1,;tfrac13r)

Passo 4

Agora normalizamos b1 e u2.
Para b1:
|b1| = raiz3, e1 = b1|b1| = 1raiz3,(1,1,0,-1)
Para u2:
|u2|^2 = l(-tfrac13r)^2 + l(tfrac23r)^2 + 1^2 + l(tfrac13r)^2 = 1+4+9+19 = 159 = 53,
|u2| = raiztfrac53, e2 = u2|u2| = raiz35;l(-tfrac13,;tfrac23,;1,;tfrac13r)

Resposta

Uma base ortonormal de U é
e1 = 1raiz3,(1,1,0,-1), e2 = raiz35;l(-tfrac13,;tfrac23,;1,;tfrac13r)

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