a) Mostre que se u1, u2, ldots, un é uma base de U então tem-se: x in U^perp se e só se lang<=x, u1rang<==lang<=x, u2rang<==cdots=lang<=x, unrang<==0.

Passo 1

O enunciado trata do complementar ortogonal de um subespaço U num espaço com produto interno. Temos uma base vec u1,dots,vec un de U e queremos mostrar que
vec xin U^perp
se e somente se
lang<= vec x,vec u1rang<==lang<= vec x,vec u2rang<==cdots=lang<= vec x,vec unrang<==0.
Vamos usar a definição de complementar ortogonal e a bilinearidade do produto interno.

Passo 2

Suponha que vec xin U^perp. Por definição, isso significa que para todo vec vin U vale
lang<= vec x,vec vrang<==0
Como cada vetor da base vec ui pertence a U, basta tomar vec v=vec ui para concluir
lang<= vec x,vec uirang<==0para i=1,2,dots,n

Passo 3

Agora suponha que lang<= vec x,vec uirang<==0 para todo i=1,dots,n. Seja vec v um vetor qualquer de U. Como vec ui é base de U, existe uma combinação linear
vec v=sumi=1^nalphai,vec ui
Pela bilinearidade do produto interno, temos
lang<= vec x,vec vrang<= =lang<= vec x,sumi=1^nalphai,vec uirang<= =sumi=1^nalphai,lang<= vec x,vec uirang<= =sumi=1^nalphaicdot 0 =0
Portanto lang<= vec x,vec vrang<==0 para todo vec vin U, o que mostra que vec xin U^perp.

Resposta

vec xin U^perpifflang<= vec x,vec u1rang<==lang<= vec x,vec u2rang<==cdots=lang<= vec x,vec unrang<==0

Exercícios relacionados