a) Mostre que se
é uma base de
então tem-se:
se e só se
.
Passo 1
O enunciado trata do complementar ortogonal de um subespaço
num espaço com produto interno. Temos uma base
de
e queremos mostrar que
se e somente se
.
Vamos usar a definição de complementar ortogonal e a bilinearidade do produto interno.
se e somente se
Vamos usar a definição de complementar ortogonal e a bilinearidade do produto interno.
Passo 2
Suponha que
. Por definição, isso significa que para todo
vale
Como cada vetor da base
pertence a
, basta tomar
para concluir
Passo 3
Agora suponha que
para todo
. Seja
um vetor qualquer de
. Como
é base de
, existe uma combinação linear
Pela bilinearidade do produto interno, temos
Portanto
para todo
, o que mostra que
.