U=L(1,1,1),(1,0,0)
a) Calcule a projecção ortogonal de (1,0,1) sobre U;

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal do vetor v=(1,0,1) sobre o subespaço
U = spanu1,u2, u1=(1,1,1),;u2=(1,0,0)
O conteúdo aqui é projeção em subespaço gerado por base não ortonormal. Vamos usar a fórmula
projU(v) ;=; A,(A^T A)^-1 A^T v,
onde A=[,u1;u2] é a matriz cujas colunas são u1 e u2.

Passo 2

Montamos
A = 1 & 1 1 & 0 1 & 0 ,
e calculamos
A^T A = u1cdot u1 & u1cdot u2 u2cdot u1 & u2cdot u2 = 3 & 1 1 & 1

Passo 3

Invertendo A^T A, temos
det(A^T A)=3cdot1-1cdot1=2,
(A^T A)^-1 = 12 1 & -1 -1 & 3

Passo 4

Calculamos
A^T v = u1cdot v u2cdot v = 1cdot1+1cdot0+1cdot1 1cdot1+0cdot0+0cdot1 = 2 1

Passo 5

As coordenadas alpha=(alpha1,alpha2)^T vêm de
alpha = (A^T A)^-1 A^T v = 12 1 & -1 -1 & 3 2 1 = 12 1 1 = tfrac12 [6pt] tfrac12

Passo 6

Finalmente
projU(v) =alpha1,u1+alpha2,u2 =tfrac12(1,1,1)+tfrac12(1,0,0) =(1,tfrac12,tfrac12)

Resposta

A projeção ortogonal de (1,0,1) sobre U é
(1,tfrac12,tfrac12)

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