1. Identifique as aplicações lang<=rang<=:, R^3 times R^3 R que definem um produto interno em R^3 :
    a) lang<=(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)rang<==x1 y1+x2 y2+x3 y3;

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
lang<= (x1,x2,x3),(y1,y2,y3)rang<= ;=; x1y1+x2y2+x3y3
de R^3timesR^3 em R e pede para verificar se ela satisfaz as três propriedades de um produto interno: bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Verificamos a bilinearidade em cada argumento. Para vetores u,v,winR^3 e escalar alphainR:
lang<= alpha u + v,,wrang<= =sumi=1^3(alpha ui+vi),wi =alphasumi=1^3uiwi+sumi=1^3viwi =alphalang<= u,wrang<=+lang<= v,wrang<=
Analogamente se mostra linearidade no segundo argumento.

Passo 3

Verificamos a simetria:
lang<=(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)rang<= =x1y1+x2y2+x3y3 =y1x1+y2x2+y3x3 =lang<=(y1,y2,y3),(x1,x2,x3)rang<=

Passo 4

Verificamos a positividade definida:
lang<=(x1,x2,x3),(x1,x2,x3)rang<= =x1^2+x2^2+x3^2>=0,
e essa soma só é zero se e somente se x1=x2=x3=0, ou seja, o vetor é o zero.

Resposta

a) Sim, essa aplicação satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, logo é um produto interno em R^3.

Exercícios relacionados